Нумеричка интеграција¶

Вектори унутрашњих сила елемента \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) и матрица крутости елемента \(\boldsymbol{K}^e\), добијени у Дискретизацији унутрашњег виртуелног рада и Спољашњем виртуелном раду и склапању глобалне једначине, имају облик интеграла по домену елемента \(\Omega^e\) или \(\Omega^e_0\). FrontISTR их нумерички израчунава Гаусовом квадратуром.

Гаусова квадратура и промена променљивих¶

Гаусова квадратура апроксимира интеграл по референтном домену \(\Xi\) линеарном комбинацијом вредности интегранда у интеграционим тачкама \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) и тежина \(w_i\). Примена на домен елемента \(\Omega^e\) укључује промену променљивих преко пресликавања \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), чиме се добија

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

где је \(n_q\) број интеграционих тачака, а \(J_{\xi_i}\) детерминанта Јакобијана трансформације. Референтни домен \(\Xi\) дефинише се за сваки тип елемента (за хексаедар \([-1,1]^3\); за троуглове, тетраедре и призме одговарајући референтни облици), а интеграционе тачке \(\boldsymbol{\xi}_i\) и тежине \(w_i\) задају се нумеричким табелама. Површински интеграли обрађују се на исти начин пресликавањем стране елемента из дводимензионалног референтног домена.

У наставку су приказани репрезентативни бројеви интеграционих тачака које користи FrontISTR (за везу са типовима елемената погледајте Шему нумерисања елемената и библиотеку функција облика).

Тип елемента	Правило квадратуре	Број интеграционих тачака
тетраедар са 4 чвора (`tet4n`)	правило са 1 тачком	1
тетраедар са 10 чворова (`tet10n`)	правило са 4 тачке	4
троугаона призма са 6 чворова (`prism6n`)	правило са 2 тачке	2
троугаона призма са 15 чворова (`prism15n`)	правило са 9 тачака	9
хексаедар са 8 чворова (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
хексаедар са 20 чворова (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
четвороугаони елемент са 4 чвора (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
четвороугаони елемент са 8 чворова (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
троугао са 3 чвора (`tri3n`)	правило са 1 тачком	1
троугао са 6 чворова (`tri6n`)	правило са 3 тачке	3

За хексаедарске, четвороугаоне и линијске елементе користе се тензорски производи Гаус–Лежандровог правила у сваком координатном правцу. Троуглови, тетраедри и троугаоне призме користе посебна правила прилагођена геометријама симплексног типа (распореде тачака који тачно интегришу полиноме по самом троуглу).

Примена на интеграцију елемента¶

При интеграцији елемента, природне координате \(\boldsymbol{r}\) користе се као координате референтног домена (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), а пресликавање у физичке координате задаје се интерполацијом чворних координата помоћу функција облика. У зависности од избора референтне конфигурације (Оквир инкременталне анализе), користе се следеће формулације.

Метода укупног Лагранжа (интеграција по референтној конфигурацији \(\Omega^e_0\)): пресликавање и Јакобијан су

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

а унутрашња сила елемента и матрица крутости апроксимирају се као

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Све величине \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) израчунавају се у интеграционој тачки \(\boldsymbol{r}_i\).

Метода ажурираног Лагранжа (интеграција по текућој конфигурацији \(\Omega^e\)): пресликавање и Јакобијан су

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

and

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

користе се као апроксимације.

Једина разлика између две формулације је у томе да ли су чворне координате прослеђене пресликавању \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) или \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); интеграционе тачке, тежине и структура петље по интеграционим тачкама су заједнички.

Пуна и редукована интеграција¶

Интеграција са довољним бројем интеграционих тачака да се степен полинома интегранда интегрише тачно назива се пуна интеграција, док се интеграција са једним нивоом мање интеграционих тачака назива редукована интеграција. Редукована интеграција користи се за ублажавање смицајног и запреминског закључавања, али захтева третман лажних модова деформације као што су модови пешчаног сата. Број интеграционих тачака за сваки тип елемента и избор између пуне и редуковане интеграције описани су у Шеми нумерисања елемената и библиотеци функција облика и наредним одељцима, као и у Напредним формулацијама елемената.

Повезане теме¶

Просторни изводи функција облика — израчунавање Јакобијана
Дискретизација унутрашњег виртуелног рада — величине које се израчунавају нумеричком интеграцијом
Напредне формулације елемената — употреба редуковане интеграције