Виртуелни рад спољашњих сила и склапање глобалне једначине¶

У Дискретизацији виртуелног рада унутрашњих сила, лева страна слабе форме сведена је на вектор унутрашњих сила елемента \(\boldsymbol{q}^e\) (UL метода) или \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL метода). У овом поглављу из виртуелног рада спољашњих сила уводи се вектор спољашњих чворних сила елемента \(\boldsymbol{F}^e\), а затим се кроз операцију склапања, којом се чворне физичке величине елемента преуређују и сабирају према глобалним бројевима чворова, долази до система нелинеарних једначина по чворним померањима који треба решити у нелинеарној структурној анализи FrontISTR-а.

Разлагање виртуелног рада спољашњих сила по елементима¶

Десна страна Принципа виртуелног рада може се по елементима разложити као виртуелни рад спољашњих сила који се састоји од запреминске силе (телесне силе) и прописане површинске силе на механичкој граници. Да бисмо интерполацију померања уведену у Функцијама облика и апроксимацији коначним елементима записали у матричном облику, користимо блок \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) у чијој дијагонали се налази функција облика \(N_\alpha^e\) чвора \(\alpha\), као и \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) добијен њиховим хоризонталним слагањем, па је \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Уврштавањем овога у виртуелни рад спољашњих сила записан у референтној конфигурацији добија се

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Овде је вектор спољашњих чворних сила елемента уређен као \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Тако се виртуелни рад спољашњих сила своди на исти облик „вектор чворова елемента × тест функција“ као и унутрашње силе (ако се запише у текућој конфигурацији, исти облик се добија заменама \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Склапање чворних физичких величина елемента¶

Чворне физичке величине \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) добијене за сваки елемент сабирају се у глобалне векторе преуређене по глобалним бројевима чворова. Глобални број чвора који одговара локалном броју чвора \(\alpha\) елемента \(\Omega^e\) означимо са

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Тада се чворна физичка величина елемента поклапа са одговарајућом компонентом глобалне чворне физичке величине (нпр. \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Пошто чвор \(i_g\) уопштено деле више елемената, уведимо скуп свих парова \((e, \alpha)\) чији је глобални број чвора \(i_g\)

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Преписивањем суме као \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) добијају се чворна унутрашња сила и глобални вектор унутрашњих сила за свих \(n_g\) чворова

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) одговара резултанти унутрашњих чворних сила елемената које делују на чвор \(i_g\) и, ако нема спољашње силе и систем је у равнотежи, једнака је \(\boldsymbol{0}\). Исти поступак у UL методи даје \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\), а нумерички важи \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), па ћемо даље користити \(\boldsymbol{Q}\) осим тамо где је разлика неопходна. Глобални вектор спољашњих сила \(\boldsymbol{F}\) добија се истим сабирањем.

У имплементацији се скуп \(\mathcal{E}(i_g)\) не формира експлицитно, већ се у петљи по елементима вредности додају одговарајућим компонентама.

Иницијализуј глобални вектор унутрашњих сила Q на 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (број елемената)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Глобални вектор спољашњих сила \(\boldsymbol{F}\) формира се истим поступком. Операција којом се чворне физичке величине елемента додају и смештају у векторе и матрице нумерисане глобалним бројевима чворова назива се склапање (assemble). За тензор другог реда по два броја чвора (као што је матрица крутости), аналогна операција склапања добија се коришћењем скупа \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (за конкретно формирање погледајте Тангентну матрицу крутости).

Нелинеарна једначина коју треба решити¶

Уврштавањем склопљених унутрашњих и спољашњих сила у Принцип виртуелног рада, и пошто израз важи за произвољну тест функцију \(\delta\boldsymbol{u}^n\) која задовољава геометријске граничне услове, добија се

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

У контексту инкременталне анализе (Оквир инкременталне анализе), враћањем временског индекса \(_{n+1}\) и изостављањем горњег индекса \(^n\) који означава глобални чворни вектор, једначина коју треба решити постаје

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Дискретизовани гранични проблем за одређивање чворних померања \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) у тренутку \(t_{n+1}\) своди се на решавање ове нелинеарне једначине по померању заједно са геометријским граничним условима. Линеаризација једначине и формирање тангентне матрице крутости описани су у Тангентној матрици крутости, а итеративни поступак решавања у Newton-Raphson методи.

Повезане ставке¶

Принцип виртуелног рада — полазна тачка слабе форме
Оквир инкременталне анализе — избор временског индекса и референтне конфигурације
Функције облика и апроксимација коначним елементима — интерполација померања и тест функције и чворни вектор елемента
Дискретизација виртуелног рада унутрашњих сила — извођење вектора унутрашњих сила елемента \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\)
Тангентна матрица крутости — склапање матрице крутости (исти поступак)
Newton-Raphson метода — итеративни поступак решавања нелинеарне једначине
Списак симбола физичких величина