Дискретизација унутрашњег виртуелног рада¶

Једначина виртуелног рада у тренутку \(t + \Delta t\), представљена у Оквиру инкременталне анализе, има два облика — формулацију ажурираног Лагранжа и формулацију укупног Лагранжа — у зависности од избора референтне конфигурације. У овом поглављу се апроксимација методом коначних елемената уведена у Функцијама облика и апроксимацији коначним елементима и Просторним изводима функција облика користи за просторну дискретизацију унутрашњег виртуелног рада обе формулације и добијање вектора унутрашњих сила елемента \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) и \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

За елемент \(e\), нека су саставни чворови \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), померања \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), а вектор чворних померања елемента нека је уређен као \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Виртуелно померање \(\delta \boldsymbol{u}^e\) дефинише се истим редоследом. Померање унутар елемента интерполира се функцијама облика као \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Унутрашњи виртуелни рад у формулацији ажурираног Лагранжа¶

У формулацији ажурираног Лагранжа, у тренутку \(t\) текућа конфигурација \({}^{t}\Omega\) користи се као референтна конфигурација, а унутрашњи виртуелни рад се записује преко Кошијевог напона \(\boldsymbol{\sigma}\) и линеарног дела Алманзијеве деформације \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) као

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Свака компонента \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) може се, коришћењем координата текуће конфигурације \(\boldsymbol{x}\), изразити као линеарна комбинација извода функција облика \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) и чворних виртуелних померања \(\delta u^e_{i\alpha}\). У Војтовој нотацији то се може записати као

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Чворни блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) формира се распоређивањем \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) према Војтовој конвенцији у матрицу \(6 \times 3\), а \(\boldsymbol{B}_L\) је матрица деформација–померање за UL формулацију. Уврштавањем овога у унутрашњи виртуелни рад и издвајањем \(\delta \boldsymbol{u}^e\) добија се

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

За \(\boldsymbol{q}^e\), чворни блок \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) представља унутрашњу силу елемента \(\Omega^e\) која делује на саставни чвор \(\alpha\).

Унутрашњи виртуелни рад у формулацији укупног Лагранжа¶

У формулацији укупног Лагранжа почетна конфигурација \(\Omega_0\) користи се као референтна конфигурација, а унутрашњи виртуелни рад записује се преко другог Пиола–Кирхофовог напона \(\boldsymbol{S}\) и Грин–Лагранжове деформације \(\boldsymbol{E}\) као

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Варијација \(\delta \boldsymbol{E}\) раздваја се на члан линеаран по виртуелном померању и нелинеарни члан који садржи производе са текућим градијентом померања \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Линеарни члан може се записати применом истог правила распоређивања као у UL формулацији на \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), чиме се добија чворни блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Због различите референтне конфигурације мењају се само саставни изводи, са \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) на \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); користи се исти симбол као у UL формулацији. Нелинеарни члан користи производе текућег градијента померања \(\partial u_k/\partial X_j\) и \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), распоређене према Војтовој конвенцији тако да образују чворни блок \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Према томе, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), а \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) је матрица деформација–померање за TL формулацију. Уврштавањем у унутрашњи виртуелни рад добија се

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Чворни блок \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) је унутрашња сила елемента \(\Omega^e_0\) која делује на саставни чвор \(\alpha\).

Однос UL/TL формулација и ток прорачуна¶

Вектори унутрашњих сила елемента у формулацијама ажурираног и укупног Лагранжа одговарају један другом на следећи начин.

Ставка	Формулација ажурираног Лагранжа	Формулација укупног Лагранжа
Референтна конфигурација	Текућа конфигурација \({}^{t}\Omega^e\)	Почетна конфигурација \(\Omega^e_0\)
Тензор напона	Кошијев напон \(\boldsymbol{\sigma}\)	Други PK напон \(\boldsymbol{S}\)
Варијација деформације	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B матрица	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Унутрашња сила елемента	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Обе формулације обрађују се истим поступком: \(\boldsymbol{B}_L\) се формира из просторних извода функција облика; у TL формулацији се из текућег градијента померања формира и додаје \(\boldsymbol{B}_{NL}\); напон (\(\boldsymbol{\sigma}\) или \(\boldsymbol{S}\)) ажурира се према конститутивном закону; затим се \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) или \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) нумерички интегрише по домену елемента у интеграционим тачкама (Нумеричка интеграција). Осим промене референтне конфигурације (чворних координата и формирања матрице \(\boldsymbol{B}\)) и замене тензора напона, поступак је заједнички, па FrontISTR реализује прорачун унутрашњих сила за обе формулације помоћу заједничких потпрограма. Склапање вектора унутрашњих сила елемента \(\boldsymbol{q}^e\) и \(\boldsymbol{Q}^e\) у глобални вектор унутрашњих сила описано је у Спољашњем виртуелном раду и склапању глобалних једначина.

Повезане теме¶

Принцип виртуелног рада — полазна једначина
Оквир инкременталне анализе — дефиниција TL/UL грана
Просторни изводи функција облика — компоненте B матрице
Спољашњи виртуелни рад и склапање глобалних једначина — прелаз на глобални вектор унутрашњих сила
Тангентна матрица крутости — линеаризација временским изводом унутрашње силе
Списак симбола физичких величина