Иди на текст

Просторни изводи функција облика

Функције облика \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) уведене у Функцијама облика и апроксимацији методом коначних елемената дате су као функције природних координата \(\boldsymbol{r}\), које су локалне координате елемента. Са друге стране, преко релације деформација–померање, интегранди у слабој форми садрже парцијалне изводе по физичким координатама (референтна конфигурација \(\boldsymbol{X}\) или тренутна конфигурација \(\boldsymbol{x}\)), односно \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) или \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). У овом одељку уређује се поступак за израчунавање ових просторних извода функција облика из координата чворова елемента и извода по природним координатама.

Изражавање просторних извода правилом ланца

Применом правила ланца на интерполациону формулу \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (претходни одељак), и коришћењем Јакобијеве матрице \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) пресликавања из природних у физичке координате, добија се

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Овде су \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) матрице у којима ред \(\alpha\) представља вектор парцијалних извода за чвор \(\alpha\); свака је матрица димензије \(n_e \times 3\).

Конструкција Јакобијеве матрице

Диференцирањем интерполационе формуле по \(\boldsymbol{r}\) добија се

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Према томе, Јакобијева матрица може се директно конструисати из координата чворова елемента \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) и извода по природним координатама \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Изводи по природним координатама одређени су функционалним обликом функција облика и унапред су имплементирани за сваки тип елемента.

Детерминанта Јакобијеве матрице \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) користи се у нумеричкој интеграцији за трансформацију елемента запремине као \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Ако детерминанта постане \(0\), елемент је дегенерисан и прорачун не успева.

Ток прорачуна

Из претходног извођења, прорачун просторних извода \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) може се поделити у следеће четири фазе.

  1. Израчунавање извода по природним координатама: Користећи тип елемента и природне координате \(\boldsymbol{r}\) тачке у којој се врши вредновање као улаз, израчунајте матрицу извода по природним координатама \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Пошто се функционални облик функција облика разликује према типу елемента, обрада се грана у складу са типом елемента.
  2. Израчунавање Јакобијеве матрице: Из координата чворова елемента \(\boldsymbol{X}^e\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) саставите Јакобијеву матрицу \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) помоћу једначине из претходног одељка.
  3. Израчунавање инверзне матрице и детерминанте: Израчунајте инверзну матрицу \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) и детерминанту Јакобијеве матрице. Детерминанта се користи при тежинском фактору у нумеричкој интеграцији.
  4. Израчунавање просторних извода: Из \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) и \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) добијају се просторни изводи \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) као њихов производ.

Ове четири фазе гранају се према типу елемента и просторној димензији (две или три димензије), али је укупан ток заједнички.

Заједнички третман референтне и тренутне конфигурације

Горњи поступак може се применити и једноставном заменом \(\boldsymbol{X}^e\) тренутним координатама чворова \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), чиме се добијају просторни изводи \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) у тренутној конфигурацији. Према томе, исти поступак може се заједнички користити за Total Lagrangian и Updated Lagrangian формулације, тако што се мењају само улазне координате чворова.

Повезане теме

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status