Функције облика и апроксимација методом коначних елемената¶

Да би се слаби облик принципа виртуелног рада могао рачунарски обрадити, домен тела се дели на коначан број елемената, а координате материјалних тачака, померање и тест-функција унутар сваког елемента интерполирају се из вредности у чворовима и функција облика. Просторни изводи функција облика обрађени су у Просторним изводима функција облика, дискретизација слабог облика у Дискретизацији унутрашњег виртуелног рада, а конкретни облици функција облика за сваки тип елемента у Систему нумерисања елемената и библиотеци функција облика и наредним одељцима.

Подела домена и суме интеграла по елементима¶

Домен \(\Omega_0\) у референтној конфигурацији и домен \(\Omega\) у текућој конфигурацији апроксимирају се унијама елемената \(\Omega^e_0\) и \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) је број елемента, а границе елемената су заједничке суседним елементима.) Овим се запремински и површински интеграли у принципу виртуелног рада разлажу на суме интеграла по појединачним елементима:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Исто важи и за текућу конфигурацију уз замену \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) и \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) У наставку се израчунавање слабог облика своди на конструисање интеграла по елементима.

Интерполација помоћу вредности у чворовима и функција облика (изопараметарски елементи)¶

Сваком елементу \(\Omega^e_0\) додељује се \(n_e\) чворова. Нека су координате референтне конфигурације и чворна померања чвора елемента \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) једнаки \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Вектори чворова елемента \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) формирају се ређањем ових вредности; за елемент \(e\) они садрже само компоненте чворова који чине тај елемент, издвојене из глобалних чворних вектора \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) је укупан број чворова).

Користећи природне координате \(\boldsymbol{r}\), које представљају локалне координате унутар елемента, као параметре, функције облика \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) интерполирају материјалне координате, померање и тест-функцију унутар елемента применом истих функција облика (изопараметарски елемент и Галеркинова метода):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Функције облика конструишу се тако да задовоље следећа два својства, а геометрија елемента бира се тако да пресликавање \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) из природних у материјалне координате буде једнозначно унутар елемента:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) је тачка у природним координатама која одговара чвору \(\alpha\), а \(\delta_{\alpha\beta}\) је Кронекерова делта.) Прва једначина гарантује репродукцију транслације крутог тела, а друга да интерполирана вредност у сваком чвору одговара вредности у том чвору. Конкретни облици \(n_e\) и \(N_\alpha^e\) за сваки тип елемента дати су у Систему нумерисања елемената и библиотеци функција облика и наредним одељцима. Да би се избегла гломазна нотација, зависност од типа елемента представљена је индексом \(e\) као горњим индексом за елемент.

Са горњим правилима интерполације, интегранд слабог облика може се изразити искључиво помоћу вредности у чворовима елемента \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) и \(N_\alpha^e\). Деформација се, међутим, изводи из интерполираног померања и релације деформација–померање, док се напон изводи из те деформације и конститутивног закона материјала; ове величине се не интерполирају директно из вредности у чворовима. Оне се израчунавају у интеграционим тачкама унутар елемента (Нумеричка интеграција).

Правило редоследа глобалних чворних вектора¶

Физичке величине додељене чворовима ређају се у глобалном чворном вектору растућим редоследом број чвора → степен слободе. Ако је у чвору \(\alpha\) компонента степена слободе \(i\) означена са \(u_{i\alpha}\), онда у три димензије (\(i=1,2,3\)) и две димензије (\(i=1,2\)), редом,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Координате \(\boldsymbol{X}^n\) и тест-функција \(\delta\boldsymbol{u}^n\) прате исти редослед. У наставку се извођења у матричном и векторском облику пишу користећи тродимензионални случај као репрезентативан.

Повезане теме¶

Принцип виртуелног рада — Слаби облик који треба дискретизовати
Просторни изводи функција облика — Припрема Јакобијана и B матрице
Систем нумерисања елемената и библиотека функција облика — Функције облика за сваки тип елемента