Пузање¶

Ово поглавље описује конститутивни закон пузања који примењује FrontISTR. За детаље о избору и спецификацијама уноса погледајте одељак функција 03_material.

Појава пузања и адитивна декомпозиција деформације¶

Временски зависно померање при услову константног напона је појава која се назива „пузање“.

Горе описано вискоеластично понашање такође се може посматрати као врста линеарног пузања. Овде се описује неколико нелинеарних понашања пузања. Уобичајени приступ је да се конститутивна релација формулише додавањем овог понашања деформацији која настаје тренутно, а да се деформација акумулирана док одређено константно оптерећење траје дефинише као деформација пузања \(\varepsilon^c\). Конститутивна релација која укључује пузање обично се изражава помоћу брзине деформације пузања \(\dot{\varepsilon}^c\), дефинисане као функција напона и укупне деформације пузања.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ако је деформација која настаје тренутно еластична деформација \(\varepsilon^e\), укупна деформација се изражава следећим збиром који укључује деформацију пузања.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

где је

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) је тензор еластичности).

Нортонов закон¶

Као конкретан конститутивни закон пузања, FrontISTR примењује следећи Нортонов модел. У овом конститутивном закону, еквивалентна брзина деформације пузања \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) изражава се као функција von Mises-овог напона \(q\) и времена \(t\) на следећи начин.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Овде су \(A\), \(m\) и \(n\) константе материјала.

Временска интеграција и ажурирање напона¶

Као и код пластичних материјала, за конститутивни закон који показује пузање мора се задати нумеричка метода временске интеграције. Конститутивна релација када се пузање узима у обзир је

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

где је \(\beta_{n+\theta}\)

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Прираштај деформације пузања \(\Delta \varepsilon^c\) затим се дефинише следећом поједностављеном нелинеарном једначином:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

која се изједначава са нулом.

У Њутн-Рафсоновој итерацији, узимајући \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) као почетни напон и користећи прираштај деформације добијен методом коначних елемената, итеративно решење и прираштај дати су као

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

где је

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

при чему се, када се итерације спроводе све док резидуал \(R\) не постане \(\mathbf{0}\), користе напон \(\sigma_{n+1}\) и тангентни модул

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Повезане теме¶

Вискоеластичност — Вискоеластично понашање које одговара линеарном пузању
Тангентна матрица крутости — Тангентна крутост за инкременталну анализу која укључује пузање
Подаци о материјалу (функције) — Задавање параметара Нортоновог модела