Иди на текст

Еластопластичност

Ово поглавље описује оквир еластопластичног конститутивног закона који FrontISTR примењује. За детаље о избору и спецификацијама улаза видети 03_material у одељку Функције.

Појава (пластична деформација)

TBD (биће написано у следећој фази).

Оквир конститутивног закона

FrontISTR усваја еластопластичну конститутивну једначину засновану на придруженом закону течења. Конститутивна једначина изражава однос између Јауманове брзине Кирхофовог напона и тензора брзине деформације, а у анализи деформација користи се ажурирана Лагранжова формулација.

Претпоставимо да је услов течења еластопластичног материјала дат на следећи начин.

Почетни услов течења:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Накнадни услов течења:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

где је

  • \(F\): функција течења
  • \(\sigma_{y_0}\): почетни напон течења
  • \(\sigma_y\): накнадни напон течења
  • \(\sigma\): тензор напона
  • \(e\): тензор бесконачно мале деформације
  • \(e^p\): тензор пластичне деформације
  • \(\overline{e}^p\): еквивалентна пластична деформација

Претпоставља се да се однос напон течења–еквивалентна пластична деформација поклапа са односом напон–пластична деформација у једноосном стању.

Однос напон–пластична деформација у једноосном стању

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

где је \(H'\) модул деформационог ојачања.

Однос еквивалентни напон–еквивалентна пластична деформација

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

У општем случају, накнадна функција течења зависи од температуре и рада пластичне деформације, али се ради једноставности овде претпоставља да зависи само од еквивалентне пластичне деформације \(\overline{e}^p\). Током развоја пластичне деформације мора и даље да важи \(F = 0\), па зато мора бити задовољена следећа једначина.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Овде \(\dot{F}\) означава временски извод од \(F\). У наставку се временски извод величине \(A\) означава са \(\dot{A}\).

Претпоставимо постојање пластичног потенцијала \(\Theta\) и изразимо брзину пластичне деформације следећом једначином.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Овде је \(\dot{\lambda}\) коефицијент.

Даље, уз претпоставку да је пластични потенцијал \(\Theta\) једнак функцији течења \(F\), користи се следећи придружени закон течења.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Уврштавањем ове једначине у услов конзистентности добија се следећа једначина.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Овде је \(D\) матрица еластичности, а

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Еластопластични однос напон–деформација може се записати на следећи начин.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Када је позната функција течења \(F\) еластопластичног материјала, његова конститутивна једначина добија се из овог израза.

Функције течења

Еластопластичне функције течења које FrontISTR примењује наведене су у наставку.

Фон Мизесова функција течења

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Овде је \(J_2\) друга инваријанта девијаторског тензора напона.

Мор-Кулонова функција течења

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Овде су \(\sigma_1, \sigma_3\) максимални и минимални главни напон, \(c\) је кохезија, а \(\phi\) угао унутрашњег трења.

Друкер-Прагерова функција течења

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Овде се материјалне константе \(\alpha\) и \(\sigma_y\) израчунавају из кохезије материјала и угла трења на следећи начин.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Повезане теме

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status