Иди на текст

Линеарна еластичност

Ово поглавље обрађује конститутивни закон (Хуков закон) за линеарно еластичне материјале. За детаље о избору модела и улазним спецификацијама погледајте одељак функција 03_material.

Појава (линеарни еластични одзив)

Линеарно еластично тело је материјал који, у области у којој је деформација под оптерећењем довољно мала, показује линеаран однос напона и деформације и реверзибилан одзив независан од историје, при чему се после растерећења целокупна деформација враћа у првобитно стање. За разлику од пластичности или пузања, оно нема унутрашње променљиве које представљају стање (као што су пластична или вискозна деформација), а напон је једнозначно одређен искључиво тренутном деформацијом.

У области малих деформација користе се Кошијев напон \(\boldsymbol{\sigma}\) и инфинитезимална деформација \(\boldsymbol{\varepsilon}\); у области коначних деформација (проблеми који укључују велике ротације, али код којих је сама деформација мала) користе се други Пиола–Кирхофов напон \(\boldsymbol{S}\) и Грин–Лагранжова деформација \(\boldsymbol{E}\) (Сен-Венан–Кирхофов материјал).

Конститутивни закон

Изотропни линеарно еластични материјал

У области малих деформација, изотропни Хуков закон се помоћу Ламеових константи \(\lambda, \mu\) изражава као

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

У компонентном облику,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

а двострука контракција са деформацијом даје \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Ламеове константе су повезане са Јанговим модулом \(E\) и Поасоновим коефицијентом \(\nu\) на следећи начин:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

У Војтовој нотацији, однос између вектора деформације \(\hat{\varepsilon}\) и вектора напона \(\hat{\sigma}\) записује се као \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), а тродимензионална матрица материјала \(D\) је

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Ова матрична репрезентација користи се у имплементацији.

Ортотропни линеарно еластични материјал

За материјале чије се еластичне константе разликују по правцима главних оса користи се ортотропни модел са девет независних константи: Јангови модули у правцима главних оса \(E_1, E_2, E_3\), Поасонови коефицијенти између главних оса \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) и модули смицања \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). За експлицитан облик матрице \(D\) погледајте стандардну литературу.

Област коначних деформација: Сен-Венан–Кирхофов материјал

За проблеме који укључују велике ротације, али код којих је сама деформација мала, Сен-Венан–Кирхофов материјал користи се као линеарни еластични закон који повезује други Пиола–Кирхофов напон \(\boldsymbol{S}\) и Грин–Лагранжову деформацију \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Дефиниције Ламеових константи \(\lambda, \mu\) исте су као у случају малих деформација. Међутим, пошто се дефиниције пара напон–деформација разликују, ово је другачији конститутивни закон од Хуковог закона за мале деформације.

Хипоеластични материјал

У методи ажурираног Лагранжа користи се хипоеластични материјал који примењује линеарни еластични закон између Јауманове брзине релативног Кирхофовог тензора напона \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) и тензора брзине деформације \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

И овде је дефиниција \(\boldsymbol{C}\) преко Ламеових константи иста као горе, али пошто се пар напон–деформација разликује, ово је другачији конститутивни закон. За детаље о ажурирању \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) поступком временске интеграције (Експлицитна Ојлерова интеграција и апроксимација централном разликом) погледајте tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Редукција за дводимензионалну анализу и љускасте елементе

Равно стање напона (\(\sigma_{33} = 0\))

За равно стање напона, које представља оптерећење танких плоча и љуски, претпоставља се \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), а користи се \(D\) у којем је компонента деформације ван равни \(\varepsilon_{33}\) алгебарски елиминисана:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Равно стање деформације (\(\varepsilon_{33} = 0\))

За равно стање деформације, које представља попречни пресек дугачке конструкције ограничене у правцу дебљине, претпоставља се \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Осовински симетрично

У осовински симетричној анализи, која обрађује проблеме једнолике у правцу \(\theta\) у цилиндричним координатама \((r, \theta, z)\), задржавају се четири компоненте \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) и \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), па се

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

добија.

Љускасти елементи (равно стање напона + попречно смицање)

За љускасте елементе, напон у равни третира се као равно стање напона, а за компоненте деформације попречног смицања \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) користи се \(\kappa\, G\) са корекционим фактором смицања \(\kappa\) (обично \(\kappa = 5/6\)). За детаљну формулацију сваког елемента погледајте Напредне формулације елемената. Навод у одељку функција 03_material да „љускасти елементи подржавају само линеарну еластичност“ заснива се на овом поједностављењу, при којем се стање у равни третира као равно стање напона.

Температурна зависност

Јангов модул \(E\), Поасонов коефицијент \(\nu\) и коефицијент линеарног ширења \(\alpha\) обично се задају као функције температуре \(T\). У FrontISTR-у се вредности уносе за коначан низ температурних тачака \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), а вредност на температури \(T\) током прорачуна одређује се линеарном интерполацијом између суседних тачака. За температуре ван опсега (\(T < T_1\) или \(T > T_n\)) за екстраполацију се користи вредност на најближој крајњој тачки, \(T_1\) или \(T_n\) (константна екстраполација).

За температурну зависност топлотних својстава и својстава провођења топлоте (густина, специфични топлотни капацитет и топлотна проводљивост) погледајте Топлотна својства. Правила интерполације су заједничка за ова својства.

Повезане теме

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status