Иди на текст

Линеарна еластична статичка анализа (увод)

Овај одељак представља формулацију еластичне статичке анализе засноване на теорији инфинитезималних деформација. За однос напон–деформација претпоставља се линеарна еластичност. Ово поглавље је намењено као увод за разумевање целокупне структуре структурне анализе методом коначних елемената и организовано је као самостално поглавље.

За општу теорију принципа виртуелног рада (облик у текућој конфигурацији, облик у почетној конфигурацији и свођење на инфинитезималне деформације) погледајте Принцип виртуелног рада; за детаље линеарно еластичног конститутивног закона погледајте Линеарну еластичност; за конвенције тензорске и Војтове нотације погледајте Тензорску нотацију и математичке основе; за општу формулацију коначних деформација погледајте Кретање, деформацију и деформације; а за методе решавања нелинеарних проблема погледајте Тангентну матрицу крутости.

Основне једначине

Под претпоставкама инфинитезималне деформације и линеарне еластичности, гранични проблем у механици чврстог тела састоји се од једначине равнотеже, механичких граничних услова и геометријских граничних услова (есенцијалних граничних услова) (видети слику 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{у} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{на} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Овде је \(\boldsymbol{\sigma}\) Кошијев напон, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) запреминска сила по јединици запремине, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) прописано површинско напрезање, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) прописано померање, а \(S_t, S_u\) су механичка и геометријска граница.

Гранични проблем у механици чврстог тела (проблем инфинитезималне деформације)

Слика 2.1.1 Гранични проблем у механици чврстог тела (проблем инфинитезималне деформације)

Коришћењем оператора симетричног градијента, однос деформација–померање је

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Линеарно еластична конститутивна једначина је

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

где је \(\boldsymbol{C}\) тензор еластичности четвртог реда.

Принцип виртуелног рада

Општи облици принципа виртуелног рада (облик у текућој конфигурацији, облик у почетној конфигурацији и свођење на инфинитезималну деформацију) сажети су у Принципу виртуелног рада. Уз претпоставке инфинитезималне деформације и линеарне еластичности, слаби облик је

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Уврштавањем конститутивне једначине \eqref{eq:2.1.5} и записивањем \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) у Војтовој нотацији добија се облик који се непосредно користи за дискретизацију:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

где је \(D\) матрица еластичности дефинисана у Линеарној еластичности. Једначине \eqref{eq:2.1.10} и \eqref{eq:2.1.7} чине принцип виртуелног рада који се дискретизује у наставку.

Дискретизација и склапање глобалне једначине

Дискретизацијом принципа виртуелног рада из једначине \( \eqref{eq:2.1.10} \) по коначним елементима добија се

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

За сваки елемент поље померања интерполира се помоћу померања чворова који чине елемент, на следећи начин.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Деформација се затим, коришћењем једначине \(\eqref{eq:2.1.4}\), задаје на следећи начин.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Уврштавањем једначина \(\eqref{eq:2.1.12}\) и \(\eqref{eq:2.1.13}\) у једначину \(\eqref{eq:2.1.11}\) добија се

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Једначина \(\eqref{eq:2.1.14}\) може се записати као

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Овде, компоненте матрице и вектора дефинисане једначинама \(\eqref{eq:2.1.16}\) и \(\eqref{eq:2.1.17}\) могу се израчунати за сваки коначни елемент и саставити суперпозицијом.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Пошто једначина \(\eqref{eq:2.1.15}\) важи за произвољно виртуелно померање \(\delta \boldsymbol{U}\), добија се следећа једначина.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Истовремено, гранични услов померања у једначини \(\eqref{eq:2.1.3}\) изражава се на следећи начин.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Решавањем једначине \(\eqref{eq:2.1.18}\) уз услов ограничења из једначине \(\eqref{eq:2.1.19}\) може се одредити чворно померање \(\boldsymbol{U}\).

Такође погледајте

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status