Нелинеарна итерација и временска интеграција¶

FrontISTR унапређује решење комбиновањем нелинеарних итерација и временске интеграције у сваком поткораку, у оквиру управљања инкрементом сваког корака. Ова страница описује итеративне структуре између спољашњег управљања корацима и унутрашњег линеарног решавача: Њутн–Рафсонове итерације, контактне итерације, временску интеграцију динамичке анализе и оквир временског напредовања и нелинеарне итерације у нестационарном провођењу топлоте.

Преглед¶

Нелинеарно решавање и временска интеграција унутар корака имају угнежђену структуру од више петљи, од спољашње ка унутрашњој. Сваки слој има следећу улогу.

Који ће се од ових слојева појавити зависи од типа анализе.

За избор самог типа контакта и алгоритма погледајте Контакт и уграђивање. Ова страница описује како је изабрани алгоритам организован као итеративна петља.

Избор шеме решавања¶

Итеративна структура се аутоматски одређује на основу изабраног типа анализе (Типови анализе), присуства или одсуства нелинеарности (геометријске нелинеарности, нелинеарности материјала или контакта) и контактног алгоритма (SLAGRANGE или ALAGRANGE). Корисник непосредно подешава горње границе броја итерација и критеријуме конвергенције.

При подешавању ових параметара примењују се следеће смернице.

• За стандардне анализе подразумевана горња граница броја итерација углавном је довољна. Ако проблем са тешком конвергенцијом достигне максималан број итерација без конвергенције, најпре примените cutback (Управљање корацима); горњу границу повећавајте само ако то не побољша конвергенцију.
• Подесите критеријуме конвергенције тако да уравнотежите стабилност анализе и време прорачуна. Строжи критеријуми побољшавају тачност равнотеже, али повећавају број итерација. У контактним анализама и анализама са Лагранжовим множиоцима, комбиновање критеријума инкремента померања или Лагранжовог критеријума са критеријумом резидуала може побољшати стабилност.
• За параметре временске интеграције у динамичкој анализи (коефицијенте Newmark-β), почните од стандардне комбинације вредности и подесите их када мењате карактеристике нумеричког пригушења вибрационог одзива.
• За шему временске интеграције у нестационарном провођењу топлоте користите Crank-Nicolson за проблеме са глатким променама температуре, а уназадни Ојлер када су нагле промене или дугорочна стабилност важнији.

Њутн–Рафсонова итерација у статичкој анализи¶

У нелинеарној статичкој анализи, једначине равнотеже које садрже геометријску нелинеарност или нелинеарност материјала решавају се итеративно Њутн–Рафсоновом методом. Свака итерација тече на следећи начин.

1. Израчунајте вектор резидуала \(\boldsymbol{R}\) за текуће решење.
2. Склопите тангентну матрицу крутости \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Решите линеарни систем \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) да бисте добили корекцију померања \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Ажурирајте решење као \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Упоредите са критеријумима конвергенције. Ако је конвергенција постигнута, завршите итерацију; у супротном се вратите на корак 1.

Линеарни решавач обавља решавање линеарног система (корак 3). За избор решавача и предобрађивача погледајте Решавач и предобрада.

Итерацијом се управља помоћу параметара управљања кораком у !STEP. Главне управљачке вредности су следеће.

Максималан број Њутнових итерација који се користи у одлукама о аутоматском инкременту и cutback-у у Управљању корацима означава број Њутнових итерација описаних на овој страници. Управљање аутоматским инкрементом повећава временски инкремент после поткорака који је конвергирао у малом броју итерација, а смањује га после поткорака који је захтевао много итерација.

Контактна итерација у статичкој анализи¶

У контактној анализи контактно стање се током итерације мења услед контакта, раздвајања и клизања на контактним површинама, па се Њутнова итерација комбинује са ажурирањем контактног стања. Структура зависи од алгоритма решавања контакта.

Оба алгоритма постављају петљу претраге контактног стања на најспољашњи ниво. При сваком проласку кроз ову петљу контактно стање (контакт/раздвајање) поново се оцењује након што унутрашња Њутнова итерација конвергира. Ако се стање променило, структура матрице крутости се ажурира и унутрашња итерација се поново извршава. Петља се завршава када контактно стање остане непромењено у односу на претходни пролаз и када су испуњени критеријуми конвергенције контакта (критеријуми контактне силе и Лагранжовог множиоца). Горња граница броја пролаза задаје се параметром MAXCONTITER у !STEP.

Код контакта SLAGRANGE, контактни степени слободе укључују се у линеарни систем стандардном методом Лагранжовог множиоца, чиме се добија двослојна структура у којој је Њутнова итерација непосредно унутар петље претраге контактног стања. Итерација проширеног Лагранжа се не користи.

Код контакта ALAGRANGE, итерација проширеног Лагранжа додаје се унутар петље претраге контактног стања, а Њутнова итерација се изводи унутар ње, чиме се добија трослојна структура. У свакој итерацији проширеног Лагранжа контактно ограничење се поново оцењује комбинацијом казненог члана и Лагранжовог множиоца, чиме се постепено побољшава тачност ограничења. Горња граница броја итерација проширеног Лагранжа задаје се параметром AUGITER у !CONTACT_ALGO.

Управљачке вредности за контактну итерацију су следеће.

Број контактних итерација који се користи при одлучивању о аутоматском инкременту у Управљању корацима означава број итерација описаних на овој страници, укључујући ажурирања контактног стања. Анализе у којима често долази до контакта и раздвајања обично захтевају више контактних итерација, што утиче и на одлуке о аутоматском инкременту и cutback-у. За типове контакта, дефиниције парова и избор алгоритма погледајте Контакт и уграђивање. За начин решавања линеарног система који садржи контактне степене слободе погледајте Решавач и предобрада.

Временска интеграција у динамичкој анализи (имплицитна метода)¶

Имплицитна метода динамичке анализе користи методу Newmark-β да у сваком временском кораку повеже померање, брзину и убрзање у следећем тренутку и комбинује те односе са једначином кретања како би добила стање у тренутку \(t + \Delta t\). Ограничење стабилности за временски корак \(\Delta t\) је благо, што омогућава ефикасно решавање одзива конструкције у којима доминирају нискофреквентне компоненте.

Користе се следећа два параметра временске интеграције.

Комбинација \(\beta = 1/4\) и \(\gamma = 1/2\) назива се методом просечног убрзања и представља стандардни избор који је безусловно стабилан и нема нумеричко пригушење. За увођење нумеричког пригушења изаберите \(\gamma\) веће од \(1/2\). За математичке детаље комбинација параметара, стабилности и карактеристика грешке погледајте теоријски приручник.

Када је укључена нелинеарност (геометријска нелинеарност, нелинеарност материјала или контакт), Њутнова итерација се изводи унутар сваког временског корака; у оквиру итерације решава се линеарни систем и ажурира стање. Критеријуми конвергенције користе CONVERG и сродне вредности заједничке са статичком анализом. У динамичкој анализи са контактом, иста итеративна структура као у Контактној итерацији у статичкој анализи уграђује се у сваки временски корак.

Временским кораком у динамичкој анализи првенствено управљају временски услови у !STEP. Код фиксних инкремената, !STEP задаје DTIME као временски корак, а ETIME као трајање корака. Вредности n_step и t_delta у !DYNAMIC третирају се као подразумеване када је !STEP изостављен и ради повратне компатибилности. У нелинеарној имплицитној методи, !STEP са INC_TYPE=AUTO омогућава аутоматске инкременте и cutback, повећавајући или смањујући временски корак према стању Њутнових и контактних итерација. Без обзира на то да ли се користе фиксни или аутоматски инкременти, временски корак поставите имајући у виду и конвергенцију и потребну тачност.

Временска интеграција у динамичкој анализи (експлицитна метода)¶

Експлицитна метода динамичке анализе користи методу централне разлике да би стање у следећем тренутку израчунала непосредно само из података о померању, брзини и убрзању у претходном тренутку. Пошто се не решава систем истовремених једначина, рачунски трошак по кораку је мали. Чак и када је укључена нелинеарност, сваки временски корак је једностепено ажурирање без Њутнове итерације.

Временски корак има горњу границу наметнуту условом стабилности заснованим на минималном сопственом периоду система (CFL услов). Временски корак који пређе ту границу доводи до дивергенције нумеричког решења, па се не могу користити велики кораци као код имплицитне методе. Експлицитна метода је погодна за појаве као што су удар, простирање таласа и контакт великом брзином, где су мали временски кораци ионако неопходни.

Када је укључен контакт, за наметање контактних ограничења користи се метода Лагранжа са инкрементом унапред. Контактне силе се израчунавају на начин усклађен са једностепеним ажурирањем експлицитне методе.

Метода решавања анализе фреквентног одзива¶

Анализа фреквентног одзива непосредно добија периодични стационарни одзив у фреквентном домену методом модалне суперпозиције. Одзив се израчунава уз промену побудне фреквенције и није потребно пратити временску историју кроз итерације. Не изводе се ни нелинеарне итерације ни временска интеграција.

Пре анализе фреквентног одзива мора се извести модална анализа истог система и издвојити потребан број сопствених облика. Подржани су само линеарни модели; анализа се не може извести када је укључена геометријска нелинеарност или нелинеарност материјала. За место овог типа анализе погледајте Типови анализе.

Временско напредовање и нелинеарна итерација у нестационарном провођењу топлоте¶

Нестационарно провођење топлоте има сопствену временску петљу која се завршава у оквиру !HEAT. Временским кораком се управља путем одвојеним од !STEP и !AUTOINC_PARAM структурне анализе, а када својства материјала зависе од температуре, нелинеарна итерација се изводи унутар сваког временског корака.

Шема временске интеграције бира се параметром \(\beta\) у !HEAT.

Временским кораком се управља адаптивно комбиновањем почетног временског корака, минималног временског корака и максималне промене температуре по кораку. Ако промена температуре после прорачуна у временском кораку пређе DELTMX, временски корак се смањује и корак се поново израчунава. Анализа се прекида ако временски корак падне испод минималног временског корака DTMIN.

Када својства материјала зависе од температуре, нелинеарна итерација се изводи унутар сваког временског корака. Итерацијом се управља на следећи начин.

Стационарно провођење топлоте не користи временско корачање; када својства материјала зависе од температуре, изводи се само нелинеарна итерација. Пошто је управљање временом у анализи провођења топлоте независно од !STEP структурне анализе, при подешавању временског корака проверите подешавања !HEAT.

Повезане теме¶

• Типови анализе — место сваког типа анализе.
• Контакт и уграђивање — избор типова контакта, дефиниција парова и алгоритама решавања.
• Решавач и предобрада — решавање линеарних истовремених једначина које се позива унутар Њутнове итерације.
• Управљање корацима — спољашње управљање корацима/поткорацима и аутоматски инкременти/cutback.
• Њутн–Рафсонова метода (теорија) — формулација итеративне методе решавања.
• Критеријуми конвергенције (теорија) — математичке дефиниције показатеља конвергенције.
• Методе динамичке анализе (теорија) — формулација метода Newmark-β и централне разлике.
• Анализа нестационарног провођења топлоте (теорија) — формулација временске интеграције за провођење топлоте.
• Контактна анализа (теорија) — формулација методе Лагранжовог множиоца.
• Референца кључних речи: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.