Analiza e përgjigjes në frekuencë¶

Formulimi i problemit¶

Analiza e përgjigjes në frekuencë vlerëson amplitudën dhe fazën e përgjigjes në gjendje të qëndrueshme të një sistemi në domenin e frekuencës kur forca e jashtme ndryshon harmonikisht me kohën. Meqenëse ekuacioni qeverisës i lëvizjes trajtohet ndryshe me dhe pa amortizim, ky kapitull fillimisht nxjerr modat vetjake nga dridhja e lirë pa amortizim dhe më pas i përdor ato si bazë modale për të zgjeruar përgjigjen harmonike me amortizim.

Dridhja e lirë pa amortizim dhe modat vetjake¶

Kur amortizimi neglizhohet, ekuacioni i lëvizjes është

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Zgjerimi i zhvendosjes në secilën modë vetjake jep

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Zëvendësimi i kësaj në Eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\) jep

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Ky është një problem i përgjithësuar i vlerave vetjake. Metodat numerike të zgjidhjes për të, duke përfshirë iteracionin invers me zhvendosje dhe metodën Lanczos, trajtohen te Analiza modale. Kjo pjesë përmbledh vetitë e frekuencave natyrore dhe modave vetjake që rezultojnë dhe që përdoren në zgjerimin pasues të përgjigjes harmonike.

Realiteti i frekuencave natyrore¶

Mund të tregohet se frekuenca natyrore është reale si më poshtë. Le të jetë \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Duke marrë të konjuguarën komplekse të Eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\), merret Eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Shumëzimi me \(\overline{U}_J^T\) jep

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Nga Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Meqenëse matrica e masës është simetrike dhe pozitivisht e përcaktuar, për një vektor vetjak jo-zero kemi

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Prandaj,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Kështu, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) është reale.

Ortogonaliteti dhe normalizimi i modave vetjake¶

Shqyrtoni dy moda të ndryshme.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Nga kjo rrjedh se

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

dhe, kur vlerat vetjake janë të ndryshme,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Kështu, modat vetjake të ndryshme janë ortogonale në lidhje me matricën e masës. Për të njëjtën modë, normalizimi në lidhje me matricën e masës si në Eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\) e thjeshton trajtimin pasues.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Përgjigjja harmonike me amortizim¶

Më poshtë paraqitet formulimi i analizës së përgjigjes në frekuencë me amortizim. Ekuacioni qeverisës i lëvizjes jepet nga Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Termi i amortizimit supozohet të jetë i tipit Rayleigh dhe shprehet si Eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Duke përdorur vektorët vetjakë të marrë nga analiza modale, vektori i zhvendosjes në kohën t mund të zgjerohet si Eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Supozojmë se termi i forcës së jashtme ka formën harmonike

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Pastaj përcaktojmë \(b_{j}(t)\). Meqenëse ekuacioni i lëvizjes në Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) ka formën e dridhjes së detyruar,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

është i vlefshëm. Pjesët reale dhe imagjinare të koeficientit të zgjerimit \(b_{j}(t)\) jepen përkatësisht nga Eq.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) dhe \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Kjo jep koeficientet e dëshiruar të përgjigjes harmonike.

Tema të lidhura¶

Analiza modale — Formulimi i problemit themelor të vlerave vetjake
Metodat e analizës dinamike — Analiza dinamike në domenin e kohës
Llojet e analizës — Përmbledhje funksionale e analizës së përgjigjes në frekuencë