Kalo te përmbajtja

Lista e simboleve të madhësive fizike

Kjo faqe rendit simbolet e madhësive fizike të përdorura në manualin teorik të FrontISTR. Për konventat e notacionit (shkrimi me të trasha për vektorët dhe tensorët, konventa e shumimit të Einstein-it dhe notacioni Voigt), shih Notacioni tensorial dhe bazat matematikore.

Konfigurimet dhe sistemet e koordinatave

Simboli Përshkrimi
\(\boldsymbol{X}\) Vektori i pozicionit të një pike materiale në konfigurimin e referencës (fillestar) (koordinata materiale)
\(\boldsymbol{x}\) Vektori i pozicionit të një pike materiale në konfigurimin aktual (koordinata hapësinore)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Hartëzimi i lëvizjes: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Domeni i zënë nga trupi në konfigurimin e referencës
\(\Omega\) Domeni i zënë nga trupi në konfigurimin aktual
\(\Gamma_0\) Kufiri i \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Kufiri i \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Kufiri gjeometrik (i zhvendosjes): kufiri në konfigurimin aktual/të referencës ku \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) përcaktohet
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Kufiri mekanik: kufiri në konfigurimin aktual/të referencës ku \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ose \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) përcaktohet
\(\boldsymbol{n}\) Vektori normal njësi i jashtëm ndaj një sipërfaqeje në konfigurimin aktual
\(\boldsymbol{N}\) Vektori normal njësi i jashtëm ndaj një sipërfaqeje në konfigurimin e referencës
\(t\) Koha

Konventë: Madhësitë fizike në konfigurimin e referencës shënohen me shkronja të mëdha ose me nënshkrimin \(0\), ndërsa madhësitë në konfigurimin aktual shënohen me shkronja të vogla.

Koha dhe inkrementet (analiza inkrementale)

Simboli Përshkrimi
\(\Delta t\) Inkrementi kohor: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Madhësi fizike në kohën \(t\) (mbishkrim majtas). Shembull: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) është sforcimi Cauchy në kohën \(t\)
\(^{t}\Omega\) Domeni i konfigurimit aktual në kohën \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Kufiri i konfigurimit aktual në kohën \(t\)

Konventë: Në analizën inkrementale, gjendja deri në kohën \(t\) trajtohet si e njohur, ndërsa gjendja në kohën \(t + \Delta t\) zgjidhet si e panjohur. Mbishkrimi majtas lihet jashtë kur koha nuk ka nevojë të shprehet shprehimisht. Formulimi që përdor konfigurimin e referencës \(\Omega_0\) si referencë quhet formulim Total Lagrange, ndërsa formulimi që përdor konfigurimin aktual \(^{t}\Omega\) në fillim të inkrementit si referencë quhet formulim Updated Lagrange.

Zhvendosja, shpejtësia, përshpejtimi dhe forca vëllimore

Simboli Përshkrimi
\(\boldsymbol{u}\) Vektori i zhvendosjes: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Zhvendosja e përcaktuar në kufirin gjeometrik \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Zhvendosja virtuale (funksioni i provës): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektori i shpejtësisë: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektori i përshpejtimit: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Forca vëllimore (për njësi mase)
\(\boldsymbol{t}\) Vektori i traksionit (për njësi sipërfaqeje): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Traksioni i përcaktuar në kufirin mekanik \(\Gamma_t\) (të dhëna Neumann)

Operatorët diferencialë

Simboli Përshkrimi
\(\dot{(\cdot)}\) Derivati material në kohë (derivati kohor që ndjek të njëjtën pikë materiale): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradienti në konfigurimin e referencës (gradienti ndaj koordinatave materiale \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradienti në konfigurimin aktual (gradienti ndaj koordinatave hapësinore \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operatori simetrik i gradientit: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Shënim: \(\nabla_X\) dhe \(\nabla_x\) lidhen nga \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Një gradient pa nënshkrim, \(\nabla\), përdoret kur konfigurimi është i qartë nga konteksti ose kur dallimi zhduket, si në problemet me deformime të vogla.

Tensorët e deformimit

Simboli Përshkrimi
\(\boldsymbol{F}\) Tensori i gradientit të deformimit: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Raporti i vëllimit: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tensori i djathtë i deformimit Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tensori i majtë i deformimit Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensori i gradientit të shpejtësisë: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensori i shpejtësisë së deformimit (pjesa simetrike e \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensori i rrotullimit (pjesa antisimetrike e \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensorët e deformimit specifik

Simboli Përshkrimi
\(\boldsymbol{E}\) Tensori i deformimit Green-Lagrange (konfigurimi i referencës): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensori i deformimit Almansi (konfigurimi aktual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Pjesa lineare e tensorit të deformimit Almansi (gradienti simetrik i zhvendosjes në konfigurimin aktual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensori i deformimit infinitesimal (përafrim linear): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Shënim: \(\boldsymbol{E}\) përdoret kryesisht në formulimin Total Lagrange, ndërsa \(\boldsymbol{D}\) përdoret kryesisht në formulimin Updated Lagrange.

Tensorët e sforcimit

Simboli Përshkrimi
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensori i sforcimit Cauchy (sforcim i vërtetë, konfigurimi aktual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Tensori i parë i sforcimit Piola-Kirchhoff (sforcim nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Tensori i dytë i sforcimit Piola-Kirchhoff (konfigurimi i referencës, simetrik): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Marrëdhëniet e transformimit ndërmjet tensorëve të sforcimit:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konventë: Formulimi Total Lagrange përdor çiftin \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), ndërsa formulimi Updated Lagrange përdor çiftin \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Dendësia dhe masa

Simboli Përshkrimi
\(\rho\) Dendësia e masës në konfigurimin aktual
\(\rho_0\) Dendësia e masës në konfigurimin e referencës

Ruajtja e masës: \(\rho_0 = J\rho\).

Konstantat e materialit (elasticitet linear)

Simboli Përshkrimi
\(E\) Moduli i Young-ut
\(\nu\) Raporti i Poisson-it
\(\lambda\) Konstanta e parë e Lamé-së: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Konstanta e dytë e Lamé-së (moduli i prerjes): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensori i elasticitetit (rendi i katërt): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponentët \(C_{ijkl}\)
\(D\) (ose \(\hat{\tilde{C}}\)) Matrica e materialit (notacioni Voigt, \(6\times6\) në 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponentët e tensorit të elasticitetit për një material izotrop linear-elastik:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materialet hiperelastike

Simboli Përshkrimi
\(W(\boldsymbol{C})\) Funksioni i potencialit elastik (funksioni i dendësisë së energjisë së deformimit)
\(I_1, I_2, I_3\) Invariantet kryesore të tensorit të djathtë Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Invariantet e reduktuara të \(\boldsymbol{C}\) (ndryshimi vëllimor i ndarë)
\(C_1, C_2\) Konstantat e materialit të modelit Mooney-Rivlin
\(D\) Konstanta e materialit e lidhur me elasticitetin vëllimor

Materialet elastoplastike

Simboli Përshkrimi
\(\boldsymbol{D}^e\) Komponenti elastik i tensorit të shpejtësisë së deformimit
\(\boldsymbol{D}^p\) Komponenti plastik i tensorit të shpejtësisë së deformimit
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funksioni i rrjedhjes
\(\kappa\) Ndryshore e brendshme që përfaqëson gjendjen plastike (ndryshore e forcimit izotrop)
\(\lambda^p\) Shumëzuesi plastik (shumëzuesi i shpejtësisë së deformimit plastik): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potenciali plastik (\(\Theta = F\) për një ligj të asociuar të rrjedhjes)
\(\bar{\sigma}\) Sforcimi ekuivalent (p.sh., sforcimi von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Deformimi plastik ekuivalent
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funksioni i forcimit izotrop

Kushti i komplementaritetit: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda e elementeve të fundme

Simboli Përshkrimi
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Domenet në konfigurimin aktual dhe të referencës të përafruara me diskretizimin me elemente të fundme: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Domeni i elementit në konfigurimin aktual dhe të referencës
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Pjesa e kufirit të elementit që i përket kufirit mekanik
\(\boldsymbol{r}\) Koordinata natyrore (koordinata lokale të elementit)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Pika në koordinata natyrore që i përgjigjet nyjes \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Funksioni i formës që i përgjigjet nyjes \(\alpha\) të elementit \(e\)
\(n_e\) Numri i nyjeve që përbëjnë një element
\(n_g\) Numri total i nyjeve globale
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinatat dhe zhvendosja e nyjes \(\alpha\) të elementit
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vektorët e koordinatave dhe zhvendosjes nyjore të elementit: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etj.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vektorët globalë të koordinatave dhe zhvendosjes nyjore (të renditur sipas numrit të nyjes, pastaj shkallës së lirisë)
\(\boldsymbol{B}\) Matrica e marrëdhënies deformim-zhvendosje (matrica B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matrica e funksionit të formës: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) është një \(d \times d\) bllok me funksionin e formës \(N_\alpha^e\) për nyjen \(\alpha\) në diagonalën e tij, dhe \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matrica e ngurtësisë së elementit
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandët e matricës së ngurtësisë së elementit (të shprehur në konfigurimin e referencës dhe atë aktual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulimi TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulimi UL) Vektori i forcës së brendshme të elementit
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Forca e jashtme nyjore që vepron në nyjen e elementit \(\alpha\), dhe vektori i forcës së jashtme nyjore të elementit: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vektori global i forcës së brendshme dhe vektori global i forcës së jashtme: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); në mënyrë të ngjashme për \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Forca e brendshme nyjore dhe forca e jashtme nyjore në nyjen globale \(i_g\) (blloqet nyjore të \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Matrica globale tangjente e ngurtësisë: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matricë e formuar duke vendosur bllokun bllokun \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) në rreshtin \(i_g\), kolonën \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektori i mbetjes në iteracionin Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korrigjimi në iteracionin Newton-Raphson (i marrë duke zgjidhur ekuacionin linear \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) në iteracionin \(i\))
\(i_g\) Numri i nyjes globale (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Numri i nyjes globale që i përgjigjet numrit lokal të nyjes \(\alpha\) të elementit \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Bashkësia e \((e, \alpha)\) çifteve që i përgjigjen numrit të nyjes globale \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Përdoret në operacionet e montimit
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Bashkësia e \((e, \alpha, \beta)\) tuplave që i përgjigjen çiftit të numrave të nyjeve globale \((i_g, i_h)\); përdoret për montimin e matricës së ngurtësisë
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indekset për nyjet që përbëjnë një element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indekset për shkallët e lirisë (\(1, 2, 3\) në 3D)

Elementet e avancuara dhe elementet strukturore

Simboli Përshkrimi
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matrica e marrëdhënies deformim-zhvendosje me pjesën vëllimore të modifikuar nga metoda B-bar (komponenti vëllimor zëvendësohet nga matrica B e vlerësuar në qendrën e elementit)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradienti i deformimit me pjesën vëllimore të modifikuar nga metoda F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Raporti vëllimor i gradientit të deformimit i vlerësuar në qendrën e elementit \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektori i shkallëve të brendshme të lirisë për një element me modë të papajtueshme (koeficientët e modave shtesë të zhvendosjes që nuk imponojnë vazhdimësi në kufirin e elementit)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funksionet e formës për modat e papajtueshme: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Trashësia e elementit shell
\(A\) Sipërfaqja e seksionit tërthor të një elementi tra
\(I\) Momenti i dytë i sipërfaqes së seksionit tërthor të një elementi tra
\(G\) Moduli i prerjes: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Tema të lidhura

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status