Shënimi tensorial dhe bazat matematikore¶

Ky kapitull përmbledh konventat për shënimin tensorial, shënimin me indekse dhe shënimin Voigt që përdoren në kapitujt pasues të Manualit Teorik të FrontISTR. Këtu përshkruhen vetëm rregullat e pastra të shënimit që nuk varen nga përkufizimet e madhësive fizike. Konventat e shënimit që varen nga konfigurimi i lidhur me lëvizjen e vazhdimit (konfigurimi referues/aktual), si dallimi midis shkronjave të mëdha dhe të vogla dhe midis derivateve materialë dhe hapësinorë, jepen te Lëvizja, deformimi dhe deformimi specifik, ku paraqitet koncepti i konfigurimit.

Shënimi tensorial¶

Shënimi me të trasha për vektorët dhe tensorët¶

Si konventë tipografike, madhësitë skalare dhe komponentët e vektorëve dhe tensorëve shkruhen me tip normal (si \(\rho\) dhe \(x_i\)), ndërsa madhësitë vetë vektoriale dhe tensoriale shkruhen me të trasha (si \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) dhe \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Konventa e shumimit të Einstein-it¶

Nëse nuk thuhet ndryshe, përdoret konventa e shumimit të Einstein-it: kur i njëjti indeks shfaqet dy herë në të njëjtin term, kryhet shumimi mbi atë indeks. Për shembull,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

dhe komponenti \(i,j\) i produktit \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) të tensorëve \(\boldsymbol{A}\) dhe \(\boldsymbol{B}\) është

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Si konventë indeksi, kur \(i, j, k, l, \ldots\) përdoren si indekse pa ndonjë përcaktim tjetër, ato tregojnë indekse të lidhura me shkallët e lirisë (\(1, 2, 3\) në tri dimensione), ndërsa shkronjat e vogla greke \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) të përdorura si indekse tregojnë indekse të lidhura me nyjet që përbëjnë një element.

Produkti i brendshëm, transpozimi dhe produkti tensorial¶

Transpozimi i tensorit \(\boldsymbol{A}\) shënohet me \(\boldsymbol{A}^T\). Produkti i brendshëm (kontraktimi i dyfishtë) i tensorëve të rendit të dytë \(\boldsymbol{A}\) dhe \(\boldsymbol{B}\) shkruhet si

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Produkti i brendshëm i vektorëve \(\boldsymbol{a}\) dhe \(\boldsymbol{b}\) është \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), ndërsa produkti i tyre tensorial është \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Shënimi Voigt¶

Sforcimi dhe deformimi janë tensorë simetrikë të rendit të dytë në lidhje me shkallët e lirisë, ndërsa koeficientët që përfaqësojnë marrëdhënien lineare ndërmjet tyre formojnë një tensor të rendit të katërt. Trajtimi i drejtpërdrejtë i tyre në një program është i pafavorshëm për sa i përket kostos llogaritëse dhe kodimit (vargje shumëdimensionale dhe cikle të folezuara thellë). Prandaj, programet e përgjithshme me elemente të fundme shfrytëzojnë simetrinë dhe kompresojnë sforcimin dhe deformimin në vektorë kolonë dhe tensorin e elasticitetit të rendit të katërt në një matricë dydimensionale. Kjo quhet shënim Voigt.

Në vijim, paraqitja matricore ose vektoriale e një madhësie tensoriale \(\boldsymbol{A}\) shënohet me \(\hat{A}\) për ta dalluar nga tensori origjinal.

Paraqitja vektoriale e sforcimit dhe deformimit¶

Për tensorin simetrik të sforcimit \(\boldsymbol{\sigma}\) dhe tensorin e deformimit \(\boldsymbol{\varepsilon}\), në dy dimensione,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

në tri dimensione,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ato trajtohen si vektorë kolonë siç tregohet më sipër. I njëjti rregull zbatohet për madhësitë e derivuara si variacionet dhe diferencialet. Vini re se komponentët e prerjes në anën e deformimit kanë një faktor 2 (ana e sforcimit nuk e ka). Për shkak të kësaj asimetrie, produkti i brendshëm tensorial mund të shkruhet kompakt si produkt i brendshëm vektorial

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Në implementim, faktori 2 në komponentët e deformimit prerës mund të trajtohet lehtësisht gabim, prandaj konventa "mungon për sforcimin / është e pranishme për deformimin" duhet mbajtur gjithmonë parasysh. Pikërisht e njëjta konventë Voigt zbatohet për madhësitë në konfigurimin referues (sforcimi i dytë Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) dhe deformimi Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Paraqitja matricore e një tensori të rendit të katërt¶

Për marrëdhënien lineare ndërmjet sforcimit dhe deformimit, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (në formë komponentësh, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), përdorimi i simetrisë së \(\boldsymbol{\varepsilon}\) jep

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Në tri dimensione, rregullimi i \(\tilde{C}\) si matrica e materialit 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) lejon që marrëdhënia tensoriale origjinale të shprehet si

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Në vijim në këtë manual, nëse nuk thuhet ndryshe, matrica e materialit shënohet me \(D\) (ose \(\hat{C}\)). Për komponentët specifikë për elasticitetin linear izotrop, shihni Elasticiteti linear.

Konventat e operatorëve diferencialë¶

Operatori i gradientit simetrik¶

Operatori i gradientit simetrik \(\nabla_S\) për një fushë vektoriale \(\boldsymbol{u}\) përcaktohet si

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Në formë komponentësh, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Deformimi me deformime infinitesimale \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) mund të shprehet kompakt me këtë operator. Dallimi ndërmjet konfigurimeve (referues/aktual) në lidhje me të cilat merren gradientet në deformimin e fundëm trajtohet te Lëvizja, deformimi dhe deformimi specifik.

Derivati material në kohë¶

Derivati material në kohë i një madhësie \(A\) (derivati kohor që ndjek të njëjtën pikë materiale) shënohet me një pikë sipër, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Shpejtësia dhe përshpejtimi ndjekin këtë konventë.

Tema të lidhura¶

Lëvizja, deformimi dhe deformimi specifik — Konceptet e konfigurimeve referuese/aktuale dhe konventat e shënimit që varen nga konfigurimi (shkronja të mëdha/të vogla, derivate materialë/hapësinorë)
Sforcimi dhe ligjet e ruajtjes — Derivimi i ekuacioneve qeverisëse duke përdorur këtë shënim
Parimi i punës virtuale — Përdorimi i formës së dobët dhe shënimit Voigt
Elasticiteti linear — Forma specifike e matricës së materialit \(D\)
Funksionet e formës dhe përafrimi me elemente të fundme — Llogaritja e ngurtësisë së elementit duke përdorur shënimin Voigt