Kalo te përmbajtja

Parimi i punës virtuale

Duke u nisur nga ekuacioni i ekuilibrit dhe kushtet kufitare të nxjerra te Sforcimi dhe ligjet e ruajtjes, nxjerrim parimin e punës virtuale, që është forma e dobët e problemit kufitar të mekanikës së kontinuumit. Diskretizimi me elemente të fundme nis nga kjo formë e dobët. Ky kapitull paraqet si formën në konfigurimin aktual (e shprehur me sforcimin Cauchy dhe pjesën lineare të deformimit Almansi), ashtu edhe formën në konfigurimin e referencës (e shprehur me sforcimin e dytë Piola-Kirchhoff dhe deformimin Green-Lagrange), tregon ekuivalencën e tyre dhe më pas verifikon reduktimin në deformime të vogla.

Ekuacioni i ekuilibrit dhe kushtet kufitare

Le të jetë \(\boldsymbol{g}\) forca vëllimore që vepron mbi kontinuumin për njësi mase dhe të shqyrtojmë një trup që zë domenin \(\Omega\) në konfigurimin aktual. Kufiri \(\Gamma\) ndahet në kufirin gjeometrik \(\Gamma_B\), ku zhvendosja jepet si \(\bar{\boldsymbol{u}}\), dhe kufirin mekanik \(\Gamma_t\), ku traksioni jepet si \(\bar{\boldsymbol{t}}\), me \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) dhe \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Për një problem statik, ekuacioni i ekuilibrit merret duke hequr termin inercial nga ligji i ruajtjes së impulsit i paraqitur te Sforcimi dhe ligjet e ruajtjes:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Kushtet kufitare janë

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Në vijim, parimi i punës virtuale nxirret si forma e dobët e ekuacionit të ekuilibrit dhe e kushtit kufitar mekanik \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Kushti kufitar gjeometrik \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) përfshihet përmes zgjedhjes së funksionit të provës.

Forma e dobët në konfigurimin aktual

Në formën e dobët, hapësira e lejueshme për zhvendosjen e panjohur dhe hapësira e funksionit të provës përcaktohen përkatësisht si

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Këtu, \(d\) është dimensioni hapësinor, \(H^1(\Omega)\) është hapësira Sobolev e funksioneve katror-integrueshme së bashku me derivatet e tyre të para të dobëta, ndërsa \(\delta\) tregon variacionin. Në paraqitjen e konfigurimit aktual, \(\Omega\) është konfigurimi i deformuar; në një zgjidhje numerike reale, ai tërhiqet prapa në konfigurimin e referencës ose në një konfigurim të ndërmjetëm të njohur.

Duke shumëzuar ekuacionin e ekuilibrit me peshën \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) dhe duke zbatuar teoremën e divergjencës së Gauss-it dhe kushtin kufitar mekanik, merret parimi i mëposhtëm i punës virtuale në konfigurimin aktual.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Këtu, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) është pjesa lineare e tensorit të deformimit Almansi, e përcaktuar nga

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Variacioni i tij është \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Pra, kërkohet \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) i tillë që ekuacioni i punës virtuale të plotësohet për çdo \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Ana e majtë është puna virtuale e forcave të brendshme, ndërsa ana e djathtë është puna virtuale e forcave të jashtme për shkak të traksionit të dhënë dhe forcës vëllimore.

Meqenëse ky ekuacion shkruhet mbi domenin e deformuar (konfigurimin aktual), një procedurë reale zgjidhjeje rizgjedh konfigurimin fillestar \(\Omega_0\) (konfigurimin e referencës) ose një konfigurim të ndërmjetëm të njohur si konfigurim reference, e rishkruan ekuacionin në formë inkrementale dhe më pas e zgjidh atë. Shih Kuadri i analizës inkrementale për zgjedhjen konkrete të konfigurimit të referencës (Total Lagrange / Updated Lagrange) dhe zbërthimin inkremental.

Forma e dobët në konfigurimin fillestar

Shqyrtoni një trup që zë domenin \(\Omega_0\) në konfigurimin e referencës, me kufirin \(\Gamma_0\) të ndarë në \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Tërheqja prapa e paraqitjes së konfigurimit aktual në konfigurimin e referencës jep çiftin e konjuguar sforcim-deformim të sforcimit të dytë Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) dhe deformimit Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Parimi i punës virtuale në konfigurimin fillestar është atëherë

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Këtu, \(\rho_0\) është dendësia e masës në konfigurimin e referencës dhe, sipas marrëdhënies së ruajtjes së masës \(\rho_0 = J\rho\), kjo është ekuivalente me paraqitjen e forcës vëllimore në konfigurimin aktual.

Ekuivalenca e paraqitjeve në konfigurimin aktual dhe fillestar

Puna virtuale e forcave të brendshme në të dyja paraqitjet përputhet përmes transformimit me gradientin e deformimit \(\boldsymbol{F}\) dhe raportin e vëllimit \(J = \det \boldsymbol{F}\); konkretisht,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Termat e forcave të jashtme janë gjithashtu ekuivalentë falë ruajtjes së masës dhe transformimit të traksionit. Prandaj, ekuacioni i punës virtuale në konfigurimin aktual dhe ai në konfigurimin fillestar shprehin të njëjtin parim në konfigurime të ndryshme. Një metodë zgjidhjeje që i referohet konfigurimit të referencës i përgjigjet metodës Total Lagrange, ndërsa një metodë zgjidhjeje që i referohet konfigurimit aktual (konfigurimi i konverguar menjëherë pararendës) i përgjigjet metodës Updated Lagrange.

Reduktimi në deformime të vogla

Nën supozimet e deformimeve të vogla \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) dhe \(J \approx 1\), dallimi ndërmjet konfigurimit aktual dhe atij të referencës zhduket, sforcimi i dytë PK përputhet me sforcimin Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), ndërsa si deformimi Green-Lagrange ashtu edhe pjesa lineare e deformimit Almansi reduktohen në deformimin infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Parimi i punës virtuale reduktohet atëherë në formën e dobët të shprehur me sforcimin Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dhe deformimin infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Kjo është forma e dobët që përdoret drejtpërdrejt për diskretizim në analizën statike lineare-elastike me deformime të vogla (Analiza statike lineare-elastike (Hyrje dhe shtojcë) nis nga kjo formë dhe tregon ndërtimin e ngurtësisë së elementit \(\boldsymbol{K}^e\) përmes montimit të ekuacionit global \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Duke zëvendësuar ligjin konstitutiv linear-elastik \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) dhe duke shkruar \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) në notacionin Voigt, forma e dobët bëhet

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

që ka këtë formë.

Tema të lidhura

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status