Sforcimi dhe ligjet e ruajtjes¶

Ky kapitull përmbledh përkufizimet dhe marrëdhëniet ndërmjet tensorëve të sforcimit, si dhe ekuacionet e ekuilibrit dhe simetrinë e sforcimit që rrjedhin nga ligjet e ruajtjes së masës, impulsit dhe momentit këndor. Tre llojet e tensorëve të sforcimit — sforcimi Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), sforcimi i parë Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) dhe sforcimi i dytë Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) — futen sipas konfigurimit të përdorur për sipërfaqen referencë dhe vektorin e forcës. Për përkufizimet e konfigurimit, lëvizjes dhe gradientit të deformimit shihni Lëvizja, deformimi dhe deformacioni, ndërsa për listën e simboleve shihni Listën e simboleve të madhësive fizike.

Tensori i sforcimit Cauchy¶

Le të jetë \(d\boldsymbol{f}\) forca që vepron mbi një sipërfaqe infinitesimale (me sipërfaqe \(d\Gamma\) dhe normalen njësi të jashtme \(\boldsymbol{n}\)) në pikën \(\boldsymbol{x}\) të konfigurimit aktual, dhe të përkufizohet vektori i sforcimit \(\boldsymbol{t}\) si forca për njësi sipërfaqeje, \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) varet si nga pozicioni \(\boldsymbol{x}\) ashtu edhe nga normalja \(\boldsymbol{n}\). Nga zbatimi i ruajtjes së impulsit në një tetraedër infinitesimal, \(\boldsymbol{t}\) është linear ndaj \(\boldsymbol{n}\) dhe ekziston një tensor i rendit të dytë \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) i tillë që

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

vlen për çdo \(\boldsymbol{n}\) (teorema e sforcimit e Cauchy). Ky tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) quhet tensori i sforcimit Cauchy dhe quhet gjithashtu sforcim i vërtetë, sepse përfaqëson forcën për njësi sipërfaqeje bazuar në gjeometrinë e konfigurimit aktual. Komponenti \(\sigma_{ij}\) përfaqëson komponentin \(x_i\) të forcës për njësi sipërfaqeje që vepron mbi një sipërfaqe infinitesimale pingule me boshtin \(x_j\) në konfigurimin aktual.

Nga ligji i ruajtjes së momentit këndor, i trajtuar më poshtë, sforcimi Cauchy është tensor simetrik

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

dhe në tri dimensione ka gjashtë komponentë të pavarur (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorizimi i sforcimit me notacionin Voigt bazohet në këtë simetri (shihni Notacionin tensorial dhe bazat matematikore). Sforcimi Cauchy përdoret për daljen e sforcimit në analizën gjeometrikisht jolineare me metodën Updated Lagrange dhe në analizën me deformime të vogla në FrontISTR.

Sforcimet e parë dhe të dytë Piola-Kirchhoff¶

Në deformime të fundme, shpesh është e përshtatshme të shprehet sforcimi duke përdorur konfigurimin referencë për sipërfaqen dhe vektorin referencë; për këtë futen dy lloje tensorësh të sforcimit Piola-Kirchhoff. Le të jetë \(d\Gamma_0\) sipërfaqja infinitesimale në konfigurimin referencë dhe \(\boldsymbol{N}\) normalja njësi e jashtme.

Sforcimi i parë Piola-Kirchhoff (sforcimi i parë PK, sforcimi nominal) \(\boldsymbol{P}\) përkufizohet si tensori i sforcimit kur forca \(d\boldsymbol{f}\) në konfigurimin aktual vepron mbi sipërfaqen infinitesimale të konfigurimit referencë:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nga formula e Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) dhe teorema e sforcimit e Cauchy merret marrëdhënia me sforcimin Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Sforcimi i parë PK në përgjithësi është tensor josimetrik.

Sforcimi i dytë Piola-Kirchhoff (sforcimi i dytë PK) \(\boldsymbol{S}\) përkufizohet si tensori i sforcimit kur forca \(d\boldsymbol{f}\) e konfigurimit aktual tërhiqet mbrapsht në konfigurimin referencë me \(\boldsymbol{F}^{-1}\) dhe vepron mbi sipërfaqen infinitesimale të konfigurimit referencë:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Kështu si vektori i forcës ashtu edhe sipërfaqja e veprimit shprehen me madhësi të konfigurimit referencë; tensori është invariant ndaj rrotullimit të trupit të ngurtë dhe është simetrik. Marrëdhënia me sforcimin e parë PK dhe transformimi ndaj sforcimit Cauchy janë

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Sforcimi i dytë PK nxirret nga funksioni i energjisë së deformimit hiperelastik \(W(\boldsymbol{C})\) si \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) dhe në metodën Total Lagrange përdoret si çifti i konjuguar sforcim–deformim \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) me deformimin Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).

Konfigurimet referencë dhe simetria paraqiten në tabelën vijuese. Në kufirin e deformimeve të vogla (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), të tre llojet e sforcimit përputhen.

Tensori i sforcimit	Sipërfaqja referencë	Vektori i forcës	Simetria	Përdorimi
Sforcimi Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	Konfigurimi aktual \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Konfigurimi aktual \(d\boldsymbol{f}\)	Simetrik	Metoda Updated Lagrange / analiza e deformimeve të vogla
Sforcimi i parë PK \(\boldsymbol{P}\)	Konfigurimi referencë \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Konfigurimi aktual \(d\boldsymbol{f}\)	Në përgjithësi josimetrik	Ekuacioni i ekuilibrit në konfigurimin referencë
Sforcimi i dytë PK \(\boldsymbol{S}\)	Konfigurimi referencë \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Konfigurimi referencë \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetrik	Metoda Total Lagrange / hiperelasticiteti

Ruajtja e masës dhe impulsit dhe ekuacionet e ekuilibrit¶

Duke shënuar dendësinë e masës në konfigurimin aktual me \(\rho\) dhe atë në konfigurimin referencë me \(\rho_0\), ligji i ruajtjes së masës \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), nëpërmjet transformimit të elementit të vëllimit \(dv = J\, dV\), reduktohet në formën lokale

\[ \rho_0 = J \rho \]

si më sipër.

Duke shënuar forcën trupore për njësi mase me \(\boldsymbol{g}\) dhe përshpejtimin me \(\boldsymbol{a}\), zbatimi i teoremës së sforcimit të Cauchy dhe teoremës së divergjencës së Gauss në ligjin e ruajtjes së impulsit (ligji i parë i lëvizjes i Euler) jep ekuacionin e ekuilibrit (ekuacionin e lëvizjes) në formë lokale në konfigurimin aktual:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Duke e rishkruar integralin në konfigurimin referencë me formulën e Nanson dhe \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), merret forma lokale në konfigurimin referencë:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Të dyja format janë ekuivalente nga ligji i transformimit të sforcimit dhe \(\rho_0 = J\rho\). Duke neglizhuar termin e inercisë,

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

merret ekuacioni i ekuilibrit statik, i cili është ekuacioni fillestar për analizën statike (lineare dhe jolineare) në FrontISTR.

Ruajtja e momentit këndor dhe simetria e sforcimit¶

Kombinimi i ligjit të ruajtjes së momentit këndor (ligji i dytë i lëvizjes i Euler) me ekuacionin e ekuilibrit nga ruajtja e impulsit jep simetrinë e tensorit të sforcimit Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Në tri dimensione ai përbëhet nga gjashtë komponentë të pavarur. Duke transpozuar të dy anët e transformimit \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) dhe duke përdorur invertueshmërinë e \(\boldsymbol{F}\), edhe sforcimi i dytë PK është simetrik:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

dhe ka gjashtë komponentë të pavarur. Nga ana tjetër, sforcimi i parë PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) në përgjithësi nuk është simetrik; vlen vetëm marrëdhënia \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (pra \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) është simetrik), dhe numri i komponentëve të pavarur është nëntë.

Këto simetri janë parakusht për vektorizimin me gjashtë komponentë të sforcimit në notacionin Voigt. Për konventat e notacionit Voigt dhe ndërtimin e matricës së materialit shihni Notacionin tensorial dhe bazat matematikore dhe Elasticitetin linear.