Lëvizja, deformimi dhe deformacioni¶

Konfigurimi referencë dhe konfigurimi aktual¶

Përkufizimi i konfigurimeve¶

Për të dalluar se cila formë në kohë merret si bazë për përshkrimin e madhësive fizike, ky manual përdor dy lloje konfigurimesh.

Konfigurimi referencë (reference configuration): Forma e padeformuar në fillim të analizës (koha \(0\)), e quajtur edhe konfigurimi fillestar. Një pikë në konfigurimin referencë përshkruhet me koordinatat materiale \(\boldsymbol{X}\), vëllimi shënohet me \(V\) dhe sipërfaqja me \(S\).
Konfigurimi aktual (current configuration): Forma e deformuar në kohën \(t\). Një pikë në konfigurimin aktual përshkruhet me koordinatat hapësinore \(\boldsymbol{x}\), vëllimi shënohet me \(v\) dhe sipërfaqja me \(s\).

Lëvizja paraqitet si hartëzimi \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ndërmjet këtyre dy konfigurimeve, ndërsa zhvendosja përkufizohet si \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konventa e shënimit sipas konfigurimit (shkronja të mëdha/të vogla)¶

Konfigurimi të cilit i përket një madhësi fizike dallohet nga përdorimi i shkronjave të mëdha ose të vogla.

Madhësitë që i përkasin konfigurimit referencë shënohen me shkronja të mëdha (p.sh. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Madhësitë që i përkasin konfigurimit aktual shënohen me shkronja të vogla (p.sh. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Për madhësi që lidhen me të dy konfigurimet, si sforcimi i parë Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), përdoret shënimi konvencional dhe kjo sqarohet në tekst sipas rastit.
Në teorinë e deformimeve të vogla, dallimi ndërmjet dy konfigurimeve zhduket, prandaj përdoren vetëm shkronja të vogla (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradienti në konfigurimin referencë dhe gradienti në konfigurimin aktual¶

Shënimi dhe kuptimi ndryshojnë në varësi të konfigurimit ndaj të cilit merret derivati hapësinor.

Gradienti në konfigurimin referencë \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradienti ndaj koordinatave materiale. Shembull: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradienti në konfigurimin aktual \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradienti ndaj koordinatave hapësinore. Shembull: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Të dyja lidhen me marrëdhënien \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Për konventën e derivatit kohor (derivati material kohor \(\dot{(\cdot)}\)), shihni Notacionin tensorial dhe bazat matematikore.

Përshkrimi i lëvizjes¶

Hartëzimi i lëvizjes dhe përshkrimi material/hapësinor¶

Nëse vazhdimësia shihet si një bashkësi pikash materiale të etiketuara nga pozicionet e tyre \(\boldsymbol{X}\) në kohën \(0\), lëvizja përshkruhet nga hartëzimi \(\phi\), i cili i shoqëron pikës materiale \(\boldsymbol{X}\) pozicionin e saj \(\boldsymbol{x}\) në kohën \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Në konventën ku konfigurimi referencë merret si konfigurimi fillestar, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Sipas zgjedhjes së ndryshoreve të pavarura dallohen dy lloje përshkrimesh.

Përshkrimi material (përshkrimi Lagrange): Madhësitë fizike shprehen si funksione të \((\boldsymbol{X}, t)\). Në mekanikën e trupave të ngurtë kjo është një zgjedhje natyrore, sepse konfigurimi referencë jepet si formë fikse.
Përshkrimi hapësinor (përshkrimi Euler): Madhësitë fizike shprehen si funksione të \((\boldsymbol{x}, t)\). Ky përshkrim përdoret standardisht në mekanikën e fluideve.

Analiza strukturore në FrontISTR bazohet në parim në përshkrimin material, por metoda Updated Lagrange përdor konfigurimin aktual si konfigurim të ri referencë dhe, për këtë arsye, përdor njëkohësisht edhe madhësi të përshkrimit hapësinor.

Zhvendosja, shpejtësia dhe përshpejtimi¶

Si në seksionin e mëparshëm, zhvendosja \(\boldsymbol{u}\) përkufizohet si \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Nuk vendoset asnjë supozim për madhësinë e saj dhe trajtohen edhe deformimet e fundme. Vektorët e shpejtësisë dhe përshpejtimit përkufizohen si derivate materiale kohore të \(\boldsymbol{u}\) duke mbajtur fikse pikën materiale:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

dhe përkufizohen nga shprehjet e mësipërme.

Gradienti i deformimit dhe tensorët e deformimit¶

Tensori i gradientit të deformimit¶

Një madhësi themelore në mekanikën e vazhdimësisë me deformime të fundme është tensori i gradientit të deformimit \(\boldsymbol{F}\). Ai është hartëzimi linear që dërgon segmentin infinitesimal \(d\boldsymbol{X}\) të konfigurimit referencë në segmentin infinitesimal \(d\boldsymbol{x}\) të konfigurimit aktual dhe përkufizohet si gradienti i hartëzimit të lëvizjes ndaj koordinatave materiale:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). Në gjendjen pa deformim, \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) përdoret gjerësisht në përkufizimin e deformimit dhe sforcimit dhe në transformimin e madhësive fizike ndërmjet konfigurimeve.

Raporti i ndryshimit të vëllimit¶

Raporti ndërmjet vëllimit infinitesimal \(dV\) në konfigurimin referencë dhe vëllimit infinitesimal \(dv\) në konfigurimin aktual quhet raporti i ndryshimit të vëllimit \(J\) dhe jepet nga

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

shprehja e mësipërme. Nga invertueshmëria e vazhdimësisë supozohet \(J > 0\). Ligji i ruajtjes së masës shprehet si \(\rho_0 = J\rho\).

Tensorët e djathtë dhe të majtë të deformimit Cauchy-Green¶

Meqenëse gradienti i deformimit \(\boldsymbol{F}\) përfshin rrotullimin e trupit të ngurtë, për të matur vetë deformimin përdoren madhësi nga të cilat është eliminuar rrotullimi i trupit të ngurtë. Tensori i djathtë i deformimit Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\) (konfigurimi referencë) dhe tensori i majtë i deformimit Cauchy-Green \(\boldsymbol{b}\) (konfigurimi aktual) përkufizohen si

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Të dy janë tensorë simetrikë dhe kanë të njëjtat vlera vetjake (katrorët e raporteve kryesore të zgjatjes). Invariantet kryesore të funksionit të energjisë së deformimit hiperelastik shprehen me këta tensorë.

Tensorët e deformimit¶

Tensori i deformimit Green-Lagrange¶

Si masë e deformimit e referuar ndaj konfigurimit referencë, tensori i deformimit Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) përkufizohet si

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Ai është një tensor simetrik që përfaqëson ndryshimin e produktit skalar të vektorëve infinitesimalë në konfigurimin referencë, është invariant ndaj rrotullimit të trupit të ngurtë dhe bëhet \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) në gjendjen pa deformim. Duke përdorur \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\),

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

shprehet si shuma e termave të rendit të parë dhe të dytë të gradientit të zhvendosjes; termi i rendit të dytë përfaqëson jolinearitetin gjeometrik. Në metodën Total Lagrange përdoret si çifti i konjuguar sforcim–deformim \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensori i deformimit Almansi¶

Si masë e deformimit e referuar ndaj konfigurimit aktual, tensori i deformimit Almansi \(\boldsymbol{e}\) përkufizohet si

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Ai lidhet me deformimin Green-Lagrange përmes \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensori i deformimit të vogël¶

Kur gradienti i zhvendosjes është i vogël (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), termat e rendit të dytë të deformimit Green-Lagrange mund të neglizhohen. Për më tepër, dallimi ndërmjet dy konfigurimeve zhduket, kështu që shprehja reduktohet në tensorin e deformimit të vogël \(\boldsymbol{\varepsilon}\), me gradientin të shprehur në koordinata hapësinore:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Në analizën statike lineare, analizën modale, analizën e përgjigjes në frekuencë dhe analizën dinamike lineare të FrontISTR përdoret kjo masë deformimi. Në analizën me deformime të fundme, metoda Total Lagrange përdor \(\boldsymbol{E}\), ndërsa metoda Updated Lagrange përdor tensorin e shpejtësisë së deformimit \(\boldsymbol{D}\) të referuar ndaj konfigurimit aktual.