Integrimi numerik¶

Vektorët e forcës së brendshme të elementit \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) dhe matrica e ngurtësisë së elementit \(\boldsymbol{K}^e\), të përftuara te Diskretizimi i punës virtuale të brendshme dhe Puna virtuale e jashtme dhe montimi i ekuacionit global, kanë formën e integraleve mbi domenin e elementit \(\Omega^e\) ose \(\Omega^e_0\). FrontISTR i vlerëson ato numerikisht duke përdorur kuadraturën e Gauss-it.

Kuadratura e Gauss-it dhe ndryshimi i ndryshoreve¶

Kuadratura e Gauss-it përafron një integral mbi domenin e referencës \(\Xi\) me një kombinim linear të vlerave të integrandit në pikat e integrimit \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) dhe peshave \(w_i\). Zbatimi i saj në domenin e elementit \(\Omega^e\) përfshin një ndryshim ndryshoresh përmes hartëzimit \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), duke dhënë

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ku \(n_q\) është numri i pikave të integrimit dhe \(J_{\xi_i}\) është determinanti i Jakobisë së transformimit. Domeni i referencës \(\Xi\) përcaktohet për çdo lloj elementi (për një heksahedron, \([-1,1]^3\); për trekëndësha, tetraedra dhe prizma trekëndore, format përkatëse të referencës), ndërsa pikat e integrimit \(\boldsymbol{\xi}_i\) dhe peshat \(w_i\) jepen në tabela numerike. Integralet sipërfaqësore trajtohen në të njëjtën formë duke hartëzuar faqen e elementit nga një domen reference dydimensional.

Më poshtë paraqiten numra përfaqësues të pikave të integrimit të përdorura nga FrontISTR (për përputhjen me llojet e elementeve, shih Skema e numërimit të elementeve dhe biblioteka e funksioneve të formës).

Lloji i elementit	Rregulli i kuadraturës	Numri i pikave të integrimit
Tetraedër me 4 nyje (`tet4n`)	Rregull me 1 pikë	1
Tetraedër me 10 nyje (`tet10n`)	Rregull me 4 pika	4
Prizëm trekëndor me 6 nyje (`prism6n`)	Rregull me 2 pika	2
Prizëm trekëndor me 15 nyje (`prism15n`)	Rregull me 9 pika	9
Heksaedër me 8 nyje (`hex8n`)	Gauss-Legendre 2×2×2	8
Heksaedër me 20 nyje (`hex20n`)	Gauss-Legendre 3×3×3	27
Katërkëndësh me 4 nyje (`quad4n`)	Gauss-Legendre 2×2	4
Katërkëndësh me 8 nyje (`quad8n`)	Gauss-Legendre 3×3	9
Trekëndësh me 3 nyje (`tri3n`)	Rregull me 1 pikë	1
Trekëndësh me 6 nyje (`tri6n`)	Rregull me 3 pika	3

Për elementet heksaedrike, katërkëndore dhe vijore përdoren produktet tensoriale të rregullit Gauss-Legendre në çdo drejtim koordinativ. Trekëndëshat, tetraedrat dhe prizmat trekëndore përdorin rregulla të posaçme të përshtatura për gjeometritë e tipit simplex (vendosje pikash që integrojnë saktësisht polinomet mbi vetë trekëndëshin).

Zbatimi në integrimin e elementit¶

Në integrimin e elementit, koordinatat natyrore \(\boldsymbol{r}\) përdoren si koordinata të domenit të referencës (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), ndërsa hartëzimi në koordinatat fizike jepet nga interpolimi i koordinatave nyjore me funksionet e formës. Në varësi të zgjedhjes së konfigurimit të referencës (Kuadri i analizës inkrementale), përdoren formulimet e mëposhtme.

Metoda Total Lagrangian (integrimi mbi konfigurimin e referencës \(\Omega^e_0\)): hartëzimi dhe Jakobia janë

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dhe forca e brendshme e elementit dhe matrica e ngurtësisë përafrohen si

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Të gjitha madhësitë \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) vlerësohen në pikën e integrimit \(\boldsymbol{r}_i\).

Metoda Updated Lagrangian (integrimi mbi konfigurimin aktual \(\Omega^e\)): hartëzimi dhe Jakobia janë

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dhe

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

përdoren si përafrime.

Dallimi i vetëm ndërmjet dy formulimeve është nëse koordinatat nyjore që i jepen hartëzimit janë \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) apo \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); pikat e integrimit, peshat dhe struktura e ciklit mbi pikat e integrimit janë të përbashkëta.

Integrimi i plotë dhe integrimi i reduktuar¶

Integrimi me një numër të mjaftueshëm pikash integrimi për të integruar saktësisht shkallën polinomiale të integrandit quhet integrim i plotë, ndërsa integrimi me një nivel më pak pikash quhet integrim i reduktuar. Integrimi i reduktuar përdoret për të zbutur bllokimin nga prerja dhe bllokimin vëllimor, por kërkon trajtimin e modave të rreme të deformimit, si modat hourglass. Numri i pikave të integrimit për çdo lloj elementi dhe zgjedhja ndërmjet integrimit të plotë dhe atij të reduktuar trajtohen te Skema e numërimit të elementeve dhe biblioteka e funksioneve të formës dhe seksionet vijuese, si dhe te Formulimet e avancuara të elementeve.

Tema të lidhura¶

Derivatet hapësinore të funksioneve të formës — Llogaritja e Jakobisë
Diskretizimi i punës virtuale të brendshme — Madhësitë e vlerësuara me integrim numerik
Formulimet e avancuara të elementeve — Përdorimi i integrimit të reduktuar