Puna virtuale e forcave të jashtme dhe montimi i ekuacionit global¶

Te Diskretizimi i punës virtuale të forcave të brendshme, ana e majtë e formës së dobët u përmblodh në vektorin e forcës së brendshme të elementit \(\boldsymbol{q}^e\) (metoda UL) ose \(\boldsymbol{Q}^e\) (metoda TL). Në këtë kapitull, nga puna virtuale e forcave të jashtme futet vektori i forcës së jashtme në nyjet e elementit \(\boldsymbol{F}^e\) dhe, nëpërmjet operacionit të montimit, ku madhësitë fizike nyjore të elementeve rirenditen dhe grumbullohen sipas numrave globalë të nyjeve, arrihet te sistemi i ekuacioneve jolineare për zhvendosjet nyjore që duhet të zgjidhë analiza strukturore jolineare e FrontISTR.

Zbërthimi elementor i punës virtuale të forcave të jashtme¶

Ana e djathtë e parimit të punës virtuale mund të zbërthehet për çdo element si puna virtuale e forcave të jashtme, e përbërë nga forcat vëllimore (forcat trupore) dhe traksionet sipërfaqësore të përcaktuara në kufirin mekanik. Për të shkruar në formë matricore interpolimin e zhvendosjes të paraqitur te Funksionet e formës dhe përafrimi me elemente të fundme, përdoret blloku diagonal \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), i ndërtuar nga funksioni i formës \(N_\alpha^e\) i nyjës \(\alpha\), dhe \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), i formuar duke i vendosur këto blloqe horizontalisht, në mënyrë që \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Duke e zëvendësuar këtë në punën virtuale të forcave të jashtme të shkruar në konfigurimin referencë,

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

merret shprehja e mësipërme. Këtu, vektori i forcës së jashtme në nyjet e elementit është renditur si \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Në këtë mënyrë, puna virtuale e forcave të jashtme përmblidhet në të njëjtën formë “vektor nyjor i elementit × funksion prove” si ana e forcave të brendshme (edhe kur shkruhet në konfigurimin aktual, forma mbetet e njëjtë me zëvendësimet \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Montimi i madhësive fizike nyjore të elementeve¶

Madhësitë fizike nyjore \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) të marra për çdo element grumbullohen në vektorë globalë, të rirenditur sipas numrave globalë të nyjeve. Numrin global të nyjës që i korrespondon numrit lokal të nyjës \(\alpha\) në elementin \(\Omega^e\) e shënojmë si

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

atëherë madhësitë fizike nyjore të elementit përputhen me komponentët përkatës të madhësive fizike nyjore globale (p.sh. \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Në përgjithësi, nyja \(i_g\) ndahet nga disa elemente, prandaj përkufizohet bashkësia e çifteve \((e, \alpha)\) numri global i të cilave është \(i_g\):

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Duke përdorur këtë bashkësi dhe duke rishkruar shumën si \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), merren forcat e brendshme nyjore dhe vektori global i forcave të brendshme për të gjitha \(n_g\) nyjet:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) korrespondon me rezultanten e forcave të brendshme nyjore të elementeve që veprojnë në nyjën \(i_g\); nëse nuk vepron forcë e jashtme dhe sistemi është në ekuilibër, kjo madhësi bëhet \(\boldsymbol{0}\). Edhe me metodën UL, e njëjta procedurë jep \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\), dhe meqenëse numerikisht \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), më poshtë përdoret në mënyrë të unifikuar \(\boldsymbol{Q}\), përveç rasteve kur duhet bërë dallimi. Vektori global i forcave të jashtme \(\boldsymbol{F}\) merret me të njëjtin grumbullim.

Në zbatim, bashkësia \(\mathcal{E}(i_g)\) nuk ndërtohet në mënyrë eksplicite; komponentët përkatës grumbullohen brenda ciklit mbi elementet.

Inicializo vektorin global të forcave të brendshme Q me 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (numri i elementeve)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Vektori global i forcave të jashtme \(\boldsymbol{F}\) ndërtohet me të njëjtën procedurë. Ky operacion, ku madhësitë fizike nyjore të elementeve shtohen dhe ruhen në vektorë e matrica të indeksuara me numra globalë të nyjeve, quhet montim (assemblim). Për tensorë të rendit të dytë me dy numra nyjesh (p.sh. matrica e ngurtësisë), një operacion i ngjashëm montimi merret duke përdorur bashkësinë \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{dhe}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (për ndërtimin konkret shihni Matricën tangjente të ngurtësisë).

Ekuacioni jolinear që duhet zgjidhur¶

Duke zëvendësuar rezultatet e montimit të forcave të brendshme dhe të jashtme në parimin e punës virtuale, dhe duke përdorur faktin se ai vlen për çdo funksion prove \(\delta\boldsymbol{u}^n\) që plotëson kushtet kufitare gjeometrike,

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

merret ekuacioni i mësipërm. Duke rikthyer indeksin kohor \(_{n+1}\) në kontekstin e analizës inkrementale (Kuadri i analizës inkrementale) dhe duke hequr indeksin e sipërm \(^n\) që tregon vektorin global nyjor, ekuacioni që duhet zgjidhur bëhet

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Problemi i diskretizuar me vlera kufitare për përcaktimin e zhvendosjes nyjore \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) në kohën \(t_{n+1}\) reduktohet në zgjidhjen e këtij ekuacioni jolinear për zhvendosjen së bashku me kushtet kufitare gjeometrike. Linearizimi i ekuacionit dhe ndërtimi i matricës tangjente të ngurtësisë trajtohen te Matrica tangjente e ngurtësisë, ndërsa zgjidhja iterative te Metoda Newton-Raphson.

Tema të lidhura¶

Parimi i punës virtuale — Pika e nisjes së formës së dobët
Kuadri i analizës inkrementale — Zgjedhja e indeksit kohor dhe konfigurimit referencë
Funksionet e formës dhe përafrimi me elemente të fundme — Interpolimi i zhvendosjes dhe funksionit të provës dhe vektori nyjor i elementit
Diskretizimi i punës virtuale të forcave të brendshme — Derivimi i vektorëve të forcave të brendshme të elementit \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\)
Matrica tangjente e ngurtësisë — Montimi i matricës së ngurtësisë (e njëjta procedurë)
Metoda Newton-Raphson — Zgjidhja iterative e ekuacionit jolinear
Lista e simboleve të madhësive fizike