Kalo te përmbajtja

Derivatet hapësinore të funksioneve të formës

Funksioni i formës \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), i paraqitur te Funksionet e formës dhe përafrimi me elemente të fundme, jepet si funksion i koordinatave natyrore \(\boldsymbol{r}\), që janë koordinatat lokale të elementit. Nga ana tjetër, në integrandin e formës së dobët shfaqen, nëpërmjet marrëdhënies deformim–zhvendosje, derivatet e pjesshme ndaj koordinatave fizike (konfigurimi referencë \(\boldsymbol{X}\) ose konfigurimi aktual \(\boldsymbol{x}\)), pra \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ose \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Ky kapitull përmbledh procedurën për llogaritjen e këtyre derivateve hapësinore të funksioneve të formës nga koordinatat nyjore të elementit dhe derivatet sipas koordinatave natyrore.

Shprehja e derivateve hapësinore me rregullin e zinxhirit

Duke zbatuar rregullin e zinxhirit për formulën e interpolimit \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (kapitulli i mëparshëm), dhe duke përdorur matricën Jakobiane \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) të hartëzimit nga koordinatat natyrore në koordinatat fizike,

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

merret shprehja e mësipërme. Këtu, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) dhe \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) janë matrica \(n_e \times 3\), ku rreshti \(\alpha\) përfaqëson vektorin e derivateve të pjesshme për nyjën \(\alpha\).

Ndërtimi i matricës Jakobiane

Duke derivuar formulën e interpolimit ndaj \(\boldsymbol{r}\),

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

merret forma e mësipërme, e cila mund të ndërtohet drejtpërdrejt nga koordinatat nyjore të elementit \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) dhe derivatet sipas koordinatave natyrore \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivatet sipas koordinatave natyrore përcaktohen nga forma funksionale e funksioneve të formës dhe zbatohen paraprakisht për çdo tip elementi.

Determinanti i matricës Jakobiane \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) përdoret në integrimin numerik për transformimin e elementit të vëllimit \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Nëse determinanti bëhet \(0\), elementi është i degjeneruar dhe llogaritja dështon.

Rrjedha e llogaritjes

Nga derivimi i mësipërm, llogaritja e derivatit hapësinor \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ndahet në katër hapa.

  1. Llogaritja e derivateve sipas koordinatave natyrore: Duke marrë si hyrje tipin e elementit dhe koordinatat natyrore \(\boldsymbol{r}\) të pikës së vlerësimit, llogaritet matrica e derivateve sipas koordinatave natyrore \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Meqenëse forma funksionale e funksioneve të formës ndryshon sipas tipit të elementit, procedura degëzohet sipas tipit të elementit.
  2. Llogaritja e matricës Jakobiane: Nga koordinatat nyjore të elementit \(\boldsymbol{X}^e\) dhe \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ndërtohet matrica Jakobiane \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) sipas ekuacionit të seksionit të mëparshëm.
  3. Llogaritja e inversit dhe determinantit: Llogariten matrica inverse \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) dhe determinanti i matricës Jakobiane. Determinanti përdoret si peshë në integrimin numerik.
  4. Llogaritja e derivateve hapësinore: Derivati hapësinor \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) merret si prodhim i \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) me \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Këta katër hapa degëzohen sipas tipit të elementit dhe dimensionit hapësinor (2D ose 3D), por rrjedha e përgjithshme është e njëjtë.

Procedurë e përbashkët për konfigurimin referencë dhe atë aktual

Procedura e mësipërme zbatohet edhe për derivatin hapësinor \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) në konfigurimin aktual, thjesht duke zëvendësuar \(\boldsymbol{X}^e\) me koordinatat nyjore të konfigurimit aktual \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Prandaj, metoda Total Lagrange dhe metoda Updated Lagrange mund të përdorin të njëjtën procedurë duke ndryshuar vetëm koordinatat nyjore hyrëse.

Tema të lidhura

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status