Funksionet e formës dhe përafrimi me elemente të fundme¶

Për të trajtuar numerikisht formën e dobët të parimit të punës virtuale, domeni i trupit ndahet në një numër të fundëm elementesh dhe koordinatat e pikave materiale, zhvendosja dhe funksioni i provës brenda çdo elementi interpolohen nga vlerat nyjore dhe funksionet e formës. Derivatet hapësinore të funksioneve të formës trajtohen te Derivatet hapësinore të funksioneve të formës, diskretizimi i formës së dobët te Diskretizimi i punës virtuale të brendshme, ndërsa format konkrete të funksioneve të formës për çdo lloj elementi te Sistemi i numërimit të elementeve dhe biblioteka e funksioneve të formës dhe seksionet pasuese.

Ndarja e domenit dhe shumat e integraleve sipas elementeve¶

Domeni \(\Omega_0\) në konfigurimin e referencës dhe domeni \(\Omega\) në konfigurimin aktual përafrohen përkatësisht nga bashkimet e elementeve \(\Omega^e_0\) dhe \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) është numri i elementit dhe kufijtë e elementeve ndahen ndërmjet elementeve fqinje.) Kjo i zbërthen integralet vëllimore dhe sipërfaqësore në parimin e punës virtuale në shuma integralesh mbi elemente të veçanta:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(E njëjta gjë vlen për konfigurimin aktual duke zëvendësuar \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) dhe \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Në vijim, vlerësimi i formës së dobët reduktohet në ndërtimin e integraleve për secilin element veçmas.

Interpolimi me vlera nyjore dhe funksione forme (elemente izoparametrike)¶

Çdo elementi \(\Omega^e_0\) i caktohen \(n_e\) nyje. Le të jenë \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) koordinatat në konfigurimin e referencës dhe zhvendosjet nyjore të nyjes së elementit \(\alpha = 1, \ldots, n_e\). Vektorët nyjorë të elementit \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) dhe \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) formohen duke renditur këto vlera; për elementin \(e\) ato përmbajnë vetëm komponentët e nyjeve që e përbëjnë elementin, të nxjerra nga vektorët nyjorë globalë \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) është numri total i nyjeve).

Duke përdorur si parametra koordinatat natyrore \(\boldsymbol{r}\), që janë koordinata lokale brenda elementit, funksionet e formës \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolojnë koordinatat materiale, zhvendosjen dhe funksionin e provës brenda elementit me të njëjtat funksione forme (element izoparametrik dhe metoda Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Funksionet e formës ndërtohen që të plotësojnë dy vetitë e mëposhtme dhe gjeometria e elementit zgjidhet në mënyrë që hartëzimi \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) nga koordinatat natyrore në koordinatat materiale të jetë një-me-një brenda elementit:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) është pika në koordinata natyrore që i përgjigjet nyjes \(\alpha\), ndërsa \(\delta_{\alpha\beta}\) është delta e Kronecker-it.) Ekuacioni i parë garanton riprodhimin e translacionit të trupit të ngurtë, ndërsa i dyti garanton që vlera e interpoluar përputhet me vlerën nyjore në çdo nyje. Format konkrete të \(n_e\) dhe \(N_\alpha^e\) për çdo lloj elementi jepen te Sistemi i numërimit të elementeve dhe biblioteka e funksioneve të formës dhe seksionet pasuese. Për të shmangur notacionin e rënduar, varësia nga lloji i elementit përfaqësohet me mbishkrimin \(e\) për elementin.

Me rregullat e mësipërme të interpolimit, integrandi i formës së dobët mund të shprehet vetëm me vlerat nyjore të elementit \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) dhe \(N_\alpha^e\). Nga ana tjetër, deformimi nxirret nga zhvendosja e interpoluar dhe marrëdhënia deformim-zhvendosje, ndërsa sforcimi nxirret nga ai deformim dhe ligji konstitutiv i materialit; këto madhësi nuk interpolohen drejtpërdrejt nga vlerat nyjore. Ato vlerësohen në pikat e integrimit brenda elementit (Integrimi numerik).

Rregulli i renditjes për vektorët nyjorë globalë¶

Madhësitë fizike të caktuara nyjeve renditen në vektorin nyjor global sipas rendit rritës numri i nyjes → shkalla e lirisë. Nëse në nyjen \(\alpha\) komponenti \(i\) i shkallës së lirisë shënohet me \(u_{i\alpha}\), atëherë përkatësisht në tri dimensione (\(i=1,2,3\)) dhe dy dimensione (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinatat \(\boldsymbol{X}^n\) dhe funksioni i provës \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ndjekin të njëjtin rend. Në vijim, nxjerrjet në formë matricore dhe vektoriale shkruhen duke përdorur rastin tredimensional si përfaqësues.

Tema të lidhura¶

Parimi i punës virtuale — Forma e dobët që do të diskretizohet
Derivatet hapësinore të funksioneve të formës — Përgatitja e Jakobisë dhe matricës B
Sistemi i numërimit të elementeve dhe biblioteka e funksioneve të formës — Funksionet e formës për çdo lloj elementi