V tem razdelku sta predstavljena časovna diskretizacija in iterativna metoda reševanja analize prevoda toplote v trdnih telesih z metodo končnih elementov (MKE). Za vodilne enačbe in robne pogoje kontinuuma glejte Enačbo prevoda toplote.
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
kjer
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
Pri tem so \(K\), \(M\), \(F\) in \(N\) po vrsti matrika prevoda toplote (vključno s prispevki konvektivnih in sevalnih robnih pogojev), masna matrika, vektor toplotne obremenitve in matrika oblikovnih funkcij. Definicije simbolov materialnih lastnosti (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) itd.) sledijo Enačbi prevoda toplote.
Enačba \(\eqref{eq:2.4.8}\) je nelinearna prehodna enačba. Pri časovni diskretizaciji z Eulerjevo metodo nazaj se, če je temperatura v času \(t=t_0\) znana, temperatura v času \(t=t_0+\Delta t\) izračuna z naslednjo enačbo.
Obravnavajmo izboljšanje temperaturnega vektorja \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), ki približno izpolnjuje enačbo \(\eqref{eq:2.4.13}\), da dobimo natančnejšo rešitev \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
V ta namen temperaturni vektor najprej izrazimo na naslednji način.
Z vstavljanjem enačb \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) in \(\eqref{eq:2.4.16}\) v enačbo \(\eqref{eq:2.4.13}\) ter zanemarjanjem členov drugega in višjih redov dobimo naslednjo enačbo.
Pri prehodni analizi se za časovno diskretizacijo uporablja implicitna metoda, zato izbira velikosti časovnega prirastka \(\Delta t\) na splošno ni omejena. Če pa je časovni prirastek \(\Delta t\) prevelik, se poveča število iteracij, potrebnih za konvergenco. Na splošno prevelik časovni prirastek \(\Delta t\) poveča število iteracij. V implementaciji samodejno krmiljenje prirastka spremlja velikost vektorja ostanka; kadar je konvergenca počasna, zmanjša \(\Delta t\), kadar je število iteracij majhno, pa \(\Delta t\) poveča (→ za podrobnosti glejte Krmiljenje korakov).