Analiza frekvenčnega odziva¶

Formulacija problema¶

Analiza frekvenčnega odziva v frekvenčnem območju ovrednoti amplitudo in fazo odziva sistema v ustaljenem stanju, kadar se zunanja sila časovno spreminja harmonično. Ker se enačba gibanja obravnava različno z dušenjem in brez njega, to poglavje najprej izpelje lastne oblike iz nedušenega prostega nihanja, nato pa jih uporabi kot modalno bazo za razvoj dušenega harmoničnega odziva.

Nedušeno prosto nihanje in lastne oblike¶

Če dušenje zanemarimo, je enačba gibanja

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Če pomik razvijemo po posameznih lastnih oblikah, dobimo

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Če to vstavimo v enačbo \(\eqref{eq:2.6.1}\), dobimo

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Dobimo posplošeni problem lastnih vrednosti. Numerične metode reševanja, vključno z inverzno iteracijo s premikom in Lanczosevo metodo, so obravnavane v Modalni analizi. Ta razdelek povzema lastnosti dobljenih lastnih frekvenc in lastnih oblik, ki se uporabljajo v nadaljnjem razvoju harmoničnega odziva.

Realnost lastnih frekvenc¶

Da je lastna frekvenca realna, lahko pokažemo takole. Naj bo \(\omega_j^2 = \lambda_j\). S kompleksnim konjugiranjem enačbe \(\eqref{eq:2.6.3}\) dobimo enačbo \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Z množenjem z \(\overline{U}_J^T\) dobimo

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Iz enačbe \(\eqref{eq:2.6.5}\) sledi

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Ker je masna matrika simetrična pozitivno definitna, za neničelni lastni vektor velja

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Zato

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Torej je \(\omega_j^2 = \lambda_j\) realno število.

Ortogonalnost in normiranje lastnih oblik¶

Obravnavajmo dve različni lastni obliki.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Iz tega sledi

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

in kadar sta lastni vrednosti različni,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Torej so različne lastne oblike ortogonalne glede na masno matriko. Za isto lastno obliko normiranje glede na masno matriko, kot v enačbi \(\eqref{eq:2.6.12}\), poenostavi nadaljnjo obravnavo.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonični odziv z dušenjem¶

Nato podamo formulacijo analize frekvenčnega odziva z dušenjem. Obravnavana enačba gibanja je podana z enačbo \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Predpostavimo Rayleighovo dušenje, izraženo z enačbo \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Z uporabo lastnih vektorjev, dobljenih z modalno analizo, lahko vektor pomika ob času t razvijemo kot v enačbi \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Predpostavimo, da ima člen zunanje sile harmonično obliko

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Nato določimo \(b_{j}(t)\). Ker ima enačba gibanja \(\eqref{eq:2.6.13}\) obliko vsiljenega nihanja,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

velja. Realni in imaginarni del koeficienta razvoja \(b_{j}(t)\) sta podana z enačbama \(\eqref{eq:2.6.18}i\) in \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

S tem dobimo iskane koeficiente harmoničnega odziva.

Sorodne teme¶

Modalna analiza — Formulacija osnovnega problema lastnih vrednosti
Metode dinamične analize — Dinamična analiza v časovnem območju
Vrste analiz — Funkcionalni pregled analize frekvenčnega odziva