Modalna analiza¶

Posplošeni problem lastnih vrednosti¶

Pri analizi prostega nihanja kontinuuma se domena prostorsko diskretizira in modelira kot sistem koncentriranih mas z več prostostnimi stopnjami, kot je prikazano na sliki 2.3.1. Za problem nedušenega prostega nihanja je vodilna enačba (enačba gibanja) naslednja.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Tu je $u$ posplošeni vektor pomikov, $M$ masna matrika in $K$ togostna matrika. Naj bo naravna krožna frekvenca $\omega$, $a$, $b$ in $c$ naj bodo poljubne konstante, $x$ pa vektor. Definirajmo funkcijo

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Drugi odvod tega izraza je

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Z vstavljanjem teh izrazov v enačbo $\eqref{eq:2.3.1}$ dobimo

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

To pomeni, da dobimo

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Če torej enačbo $\eqref{eq:2.3.5}$ izpolnjuje koeficient $\lambda = \omega^2$ in je mogoče določiti vektor $x$, je funkcija $u(t)$ rešitev enačbe $\eqref{eq:2.3.1}$.

Koeficient $\lambda$ se imenuje lastna vrednost, vektor $x$ pa lastni vektor. Problem njunega določanja iz enačbe $\eqref{eq:2.3.1}$ se imenuje posplošeni problem lastnih vrednosti.

Primer sistema z več prostostnimi stopnjami pri nedušenem prostem nihanju

Slika 2.3.1 Primer sistema z več prostostnimi stopnjami pri nedušenem prostem nihanju

Lastnosti matrik in predpostavke¶

Za posplošeni problem lastnih vrednosti $K x = \lambda M x$, dobljen v prejšnjem razdelku, ta priročnik predpostavlja naslednje lastnosti matrik. Te predpostavke so podlaga za konvergenco in območje uporabnosti spodaj opisanih metod inverzne iteracije s premikom in Lanczoseve metode. Pri kompleksni matriki je transponirana matrika kompleksno konjugirana, realna matrika pa je simetrična. Natančneje, če je za matriko $K$ njen element $ij$ enak $k_{ij}$, kompleksno konjugirano vrednost $k$ pa označimo z $\bar{k}$, potem

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

velja naslednja zveza.

V tem priročniku se predpostavlja, da so matrike simetrične in pozitivno definitne. Pozitivna definitnost pomeni, da so vse lastne vrednosti pozitivne; ekvivalentno matrika vedno izpolnjuje spodnjo enačbo $\eqref{eq:2.3.7}$.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Inverzna iteracija s premikom¶

Pri strukturni analizi po metodi končnih elementov v praksi praviloma niso potrebne vse lastne vrednosti; v mnogih primerih zadostuje le nekaj lastnih vrednosti nižjih redov. HEC-MW je namenjen velikim problemom, pri katerih so matrike velike in zelo redke (vsebujejo veliko ničelnih elementov). Zato je pomembno učinkovito izračunati lastne vrednosti načinov nižjih redov ob upoštevanju te lastnosti.

Naj bo $\sigma$ spodnja meja lastnih vrednosti. Enačbo $\eqref{eq:2.3.5}$ je nato mogoče preoblikovati v naslednjo matematično ekvivalentno obliko.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ta transformacija ima za računanje naslednje uporabne lastnosti.

Vrstni red načinov se obrne.
Lastne vrednosti blizu $\rho$ se preslikajo v največje vrednosti.

Pri dejanskem računanju se pogosto najprej določijo največje lastne vrednosti. Zato se glavni konvergenčni izračun namesto na enačbo $\eqref{eq:2.3.5}$ uporabi na enačbi $\eqref{eq:2.3.8}$, z namenom, da se najprej določijo lastne vrednosti blizu $\rho$. Ta tehnika se imenuje inverzna iteracija s premikom.

Lanczoseva metoda¶

Razlog za uporabo (primerjava z Jacobijevo metodo)¶

Med klasičnimi metodami je dobro znana Jacobijeva metoda.

Ta metoda je učinkovita, kadar je matrika majhna in gosta. Ker pa so matrike, ki jih obravnava HEC-MW, velike in redke, se Jacobijeva metoda ne uporablja; namesto nje se uporablja iterativna Lanczoseva metoda.

Algoritem in značilnosti¶

Ta metoda, ki jo je C. Lanczos predlagal v petdesetih letih 20. stoletja, je algoritem za redukcijo matrike v tridiagonalno obliko in ima naslednje značilnosti.

Je iterativna konvergentna metoda in lahko napreduje, pri čemer matrika ostane redka.
Algoritem je pretežno sestavljen iz množenj matrike z vektorjem in je zelo primeren za paralelizacijo.
Zelo je primeren za geometrijsko razdelitev domene, povezano z mrežami končnih elementov.
Učinkovito računanje je mogoče z omejitvijo števila lastnih vrednosti in območja načinov, ki jih želimo določiti.

Lanczoseva metoda začne z začetnim vektorjem, zaporedoma generira ortogonalne vektorje in zgradi bazo podprostora. Velja, da je hitrejša od metode podprostora, druge iterativne metode, in se široko uporablja v programih končnih elementov. Vendar je ta metoda občutljiva na numerične napake, ki lahko porušijo ortogonalnost vektorjev in povzročijo odpoved izračuna. Ukrepi proti takim numeričnim napakam so zato bistveni.

Geometrijska interpretacija (Krylovov podprostor)¶

Z uvedbo naslednje zamenjave spremenljivk v enačbo $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

je mogoče problem prepisati kot

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Na ustrezen vektor $q_0$ uporabimo linearno transformacijo, ki jo predstavlja matrika $A$ (glejte sliko 2.3.2).

$Linearna transformacija vektorja $q_0$ z matriko $A$$

Slika 2.3.2 Linearna transformacija vektorja $q_0$ z matriko $A$

Transformirani vektor se ortogonalizira znotraj prostora, ki ga razpenja skupaj z izvirnim vektorjem. To pomeni, da se izvede Gram-Schmidtova ortogonalizacija, kot je prikazano na sliki 2.3.2. Dobljeni vektor označimo z $r_1$. Normaliziramo ga na enotsko dolžino in dobimo $q_1$ (slika 2.3.3). Iz $q_1$ po istem postopku dobimo $q_2$. V tej točki je $q_2$ ortogonalen tako na $q_1$ kot na $q_0$ (slika 2.3.4). Z nadaljevanjem istega izračuna dobimo medsebojno ortogonalne vektorje do reda matrike.

$Vektor, ortogonalen na $q_0$: $q_1$$

Slika 2.3.3 Vektor, ortogonalen na $q_0$: $q_1$

$Vektor, ortogonalen na $q_1$ in $q_0$: $q_2$$

Slika 2.3.4 Vektor, ortogonalen na $q_1$ in $q_0$: $q_2$

Lanczosev algoritem se zlasti uporabi na zaporedju vektorjev $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

ali ekvivalentno $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

z Gram-Schmidtovo ortogonalizacijo. To zaporedje vektorjev se imenuje Krylovovo zaporedje, prostor, ki ga razpenja, pa Krylovov podprostor. Ko se v tem prostoru izvede Gram-Schmidtova ortogonalizacija, je mogoče vsak nov vektor dobiti z uporabo dveh najnovejših vektorjev. To se imenuje Lanczosevo načelo.

Tridiagonalizacija¶

V zgornji iteraciji lahko izračun za (i+1)-ti vektor zapišemo kot

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

kjer je

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Z matričnim zapisom to postane

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

kjer je

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Lastne vrednosti se tako določijo z rešitvijo problema lastnih vrednosti za tridiagonalno matriko, dobljeno iz enačbe $\eqref{eq:2.3.13}$.

Sorodne teme¶

Analiza frekvenčnega odziva — Frekvenčni odziv z uporabo rezultatov modalne analize
Vrste analize — Funkcionalni pregled modalne analize