Metode dinamične analize¶

V tem razdelku so opisane metode analize dinamičnih problemov z neposredno časovno integracijo. V nadaljevanju sta podani formulaciji implicitne in eksplicitne metode.

Diskretizacija gibalne enačbe (skupni okvir)¶

TBD (dopolnjeno bo v naslednji fazi).

Implicitna metoda (Newmark-β metoda)¶

Za dinamične probleme se za reševanje spodaj prikazane gibalne enačbe uporablja metoda neposredne časovne integracije.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Pri tem je \(M\) masna matrika, \(C\) dušilna matrika, \(Q\) vektor notranjih sil in \(F\) vektor zunanjih sil. Predpostavlja se, da masna matrika ostane konstantna ne glede na deformacijo, tudi pri nelinearni analizi.

Spremembe pomika, hitrosti in pospeška v časovnem prirastku \(\Delta t\) se aproksimirajo z Newmark-\(\beta\) metodo, kot je prikazano v enačbah \(\eqref{eq:2.5.2}\) in \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Pri tem sta \(\gamma\) in \(\beta\) parametra Newmark-\(\beta\) metode.

Kot je znano, naslednje vrednosti \(\gamma\) in \(\beta\) ustrezajo metodi linearnega pospeška oziroma trapeznemu pravilu.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metoda linearnega pospeška)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapezno pravilo)

Z vstavljanjem enačb \(\eqref{eq:2.5.2}\) in \(\eqref{eq:2.5.3}\) v enačbo \(\eqref{eq:2.5.1}\) dobimo naslednjo enačbo.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Za linearni problem je \(K_L\) linearna togostna matrika in velja \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Z vstavljanjem te zveze v zgornjo enačbo dobimo naslednjo enačbo.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Na mestih, kjer je pospešek predpisan kot geometrijski robni pogoj, se pomik iz enačbe \(\eqref{eq:2.5.2}\) določi na naslednji način.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Podobno se na mestih, kjer je predpisana hitrost, pomik iz enačbe \(\eqref{eq:2.5.6}\) določi na naslednji način.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Pri tem je \(u_{is}(t+\Delta{t})\) pomik vozlišča v času \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) pa hitrost vozlišča v času \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) je pospešek vozlišča v času \(t+\Delta{t}\), \(i\) je številka prostostne stopnje vozlišča, \(s\) pa številka vozlišča. Masni in dušilni člen se obravnavata na naslednji način.

Obravnava masnega člena¶

Masna matrika se načeloma obravnava kot koncentrirana masna matrika.

Obravnava dušilnega člena¶

Dušilni člen se obravnava kot Rayleighovo dušenje, izraženo z enačbo \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Pri tem sta \(R_m\) in \(R_k\) parametra Rayleighovega dušenja.

Vrednosti \(R_m\) in \(R_k\), določene na kartici !DYNAMIC, se enotno uporabijo za celoten model. Če želite za posamezne materiale določiti različne vrednosti \(R_m\) in \(R_k\), v blok !MATERIAL tega materiala vnesite kartico !DAMPING. Za elemente, ki pripadajo materialu z določeno kartico !DAMPING, se elementna dušilna matrika izračuna kot \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) iz elementne masne matrike \(M_i\) in tangentne togostne matrike \(K_i\) ter sestavi v globalno dušilno matriko. Ta funkcija velja samo za implicitno metodo.

Eksplicitna metoda (metoda centralnih razlik)¶

Eksplicitna metoda temelji na spodaj prikazani gibalni enačbi v času t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Če pomika v časih \(t + \Delta t\) in \(t - \Delta t\) izrazimo s Taylorjevima razvojem okoli časa \(t\) in obdržimo člene do drugega reda v \(\Delta t\), dobimo naslednji enačbi.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Z razliko in vsoto enačb \(\eqref{eq:2.5.3}\) in \(\eqref{eq:2.5.4}\) dobimo naslednji enačbi.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Z vstavljanjem enačb \(\eqref{eq:2.5.12}\) in \(\eqref{eq:2.5.13}\) v enačbo \(\eqref{eq:2.5.9}\) dobimo naslednjo enačbo.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Za linearni problem velja \(Q(t) = K_L U(t)\), zato se zgornja enačba glasi

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Če se masna matrika \(M\) obravnava kot koncentrirana masna matrika, dušilna matrika pa kot sorazmerna dušilna matrika \(C = R_m M\), pri enačbi \(\eqref{eq:2.5.15}\) ni treba reševati sistema simultanih enačb.

Zato je mogoče iz enačbe \(\eqref{eq:2.5.15}\) določiti \(U(t+\Delta t)\) z naslednjo enačbo.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Sorodne teme¶

Vrste analiz — Pregled in izbira funkcij dinamične analize
Viri