Skoči na vsebino

Seznam simbolov fizikalnih veličin

Na tej strani so navedeni simboli fizikalnih veličin, ki se uporabljajo v teoretičnem priročniku FrontISTR. Za dogovore zapisa (krepki zapis vektorjev in tenzorjev, Einsteinov dogovor seštevanja in Voigtov zapis) glejte Tenzorski zapis in matematične osnove.

Konfiguracije in koordinatni sistemi

Simbol Opis
\(\boldsymbol{X}\) Krajevni vektor materialne točke v referenčni (začetni) konfiguraciji (materialne koordinate)
\(\boldsymbol{x}\) Krajevni vektor materialne točke v trenutni konfiguraciji (prostorske koordinate)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Preslikava gibanja: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Območje, ki ga telo zavzema v referenčni konfiguraciji
\(\Omega\) Območje, ki ga telo zavzema v trenutni konfiguraciji
\(\Gamma_0\) Rob območja \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Rob območja \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrijski (pomikovni) rob: rob v trenutni/referenčni konfiguraciji, na katerem je predpisan \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mehanski rob: rob v trenutni/referenčni konfiguraciji, na katerem je predpisan \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ali \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Zunanji enotski normalni vektor na površino v trenutni konfiguraciji
\(\boldsymbol{N}\) Zunanji enotski normalni vektor na površino v referenčni konfiguraciji
\(t\) Čas

Dogovor: Fizikalne veličine v referenčni konfiguraciji so označene z velikimi črkami ali indeksom \(0\), veličine v trenutni konfiguraciji pa z malimi črkami.

Čas in prirastki (inkrementna analiza)

Simbol Opis
\(\Delta t\) Časovni prirastek: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fizikalna veličina ob času \(t\) (levi nadpis). Primer: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyjeva napetost ob času \(t\)
\(^{t}\Omega\) Območje trenutne konfiguracije ob času \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Rob trenutne konfiguracije ob času \(t\)

Dogovor: Pri inkrementni analizi se stanje do časa \(t\) obravnava kot znano, stanje pri času \(t + \Delta t\) pa se rešuje kot neznano. Levi nadpis se izpusti, kadar časa ni treba izrecno navesti. Formulacija, ki kot referenco uporablja referenčno konfiguracijo \(\Omega_0\), se imenuje formulacija Total Lagrange, formulacija, ki kot referenco uporablja trenutno konfiguracijo \(^{t}\Omega\) na začetku prirastka, pa formulacija Updated Lagrange.

Pomik, hitrost, pospešek in volumska sila

Simbol Opis
\(\boldsymbol{u}\) Vektor pomika: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Pomik, predpisan na geometrijskem robu \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtualni pomik (testna funkcija): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektor hitrosti: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektor pospeška: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Volumska sila (na enoto mase)
\(\boldsymbol{t}\) Vektor površinske sile (na enoto površine): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Površinska sila, predpisana na mehanskem robu \(\Gamma_t\) (Neumannovi podatki)

Diferencialni operatorji

Simbol Opis
\(\dot{(\cdot)}\) Materialni časovni odvod (časovni odvod, ki sledi isti materialni točki): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient v referenčni konfiguraciji (gradient glede na materialne koordinate \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient v trenutni konfiguraciji (gradient glede na prostorske koordinate \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operator simetričnega gradienta: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Opomba: \(\nabla_X\) in \(\nabla_x\) sta povezana z \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient brez indeksa, \(\nabla\), se uporablja, kadar je konfiguracija jasna iz konteksta ali kadar razlika izgine, kot pri problemih majhnih deformacij.

Deformacijski tenzorji

Simbol Opis
\(\boldsymbol{F}\) Tenzor deformacijskega gradienta: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Razmerje volumnov: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Levi Cauchy-Greenov deformacijski tenzor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tenzor gradienta hitrosti: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tenzor hitrosti deformacije (simetrični del \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tenzor vrtenja (antisimetrični del \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tenzorji deformacije

Simbol Opis
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrangeov tenzor deformacije (referenčna konfiguracija): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansijev tenzor deformacije (trenutna konfiguracija): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Linearni del Almansijevega tenzorja deformacije (simetrični gradient pomika v trenutni konfiguraciji): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenzor infinitezimalne deformacije (linearna aproksimacija): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Opomba: \(\boldsymbol{E}\) se uporablja predvsem v formulaciji Total Lagrange, \(\boldsymbol{D}\) pa predvsem v formulaciji Updated Lagrange.

Tenzorji napetosti

Simbol Opis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyjev tenzor napetosti (prava napetost, trenutna konfiguracija): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Prvi Piola-Kirchhoffov tenzor napetosti (nominalna napetost): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Drugi Piola-Kirchhoffov tenzor napetosti (referenčna konfiguracija, simetričen): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Pretvorbene zveze med tenzorji napetosti:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Dogovor: Formulacija Total Lagrange uporablja par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), formulacija Updated Lagrange pa par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Gostota in masa

Simbol Opis
\(\rho\) Masna gostota v trenutni konfiguraciji
\(\rho_0\) Masna gostota v referenčni konfiguraciji

Ohranitev mase: \(\rho_0 = J\rho\).

Materialne konstante (linearna elastičnost)

Simbol Opis
\(E\) Youngov modul
\(\nu\) Poissonovo razmerje
\(\lambda\) Prva Laméjeva konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druga Laméjeva konstanta (strižni modul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tenzor elastičnosti (četrtega reda): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponente \(C_{ijkl}\)
\(D\) (ali \(\hat{\tilde{C}}\)) Materialna matrika (Voigtov zapis, \(6\times6\) v 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponente tenzorja elastičnosti za izotropni linearno elastični material:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hiperelastični materiali

Simbol Opis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkcija elastičnega potenciala (gostota deformacijske energije)
\(I_1, I_2, I_3\) Glavne invariante desnega Cauchy-Greenovega tenzorja \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Reducirane invariante \(\boldsymbol{C}\) (ločena volumska sprememba)
\(C_1, C_2\) Materialni konstanti Mooney-Rivlinovega modela
\(D\) Materialna konstanta, povezana z volumsko elastičnostjo

Elastoplastični materiali

Simbol Opis
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastična komponenta tenzorja hitrosti deformacije
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastična komponenta tenzorja hitrosti deformacije
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkcija tečenja
\(\kappa\) Notranja spremenljivka, ki predstavlja plastično stanje (spremenljivka izotropnega utrjevanja)
\(\lambda^p\) Plastični multiplikator (multiplikator hitrosti plastične deformacije): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastični potencial (\(\Theta = F\) pri asociiranem pravilu tečenja)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentna napetost (npr. von Misesova napetost)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentna plastična deformacija
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkcija izotropnega utrjevanja

Komplementarni pogoj: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda končnih elementov

Simbol Opis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Območji trenutne in referenčne konfiguracije, aproksimirani z diskretizacijo končnih elementov: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Območje elementa v trenutni in referenčni konfiguraciji
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Del roba elementa, ki pripada mehanskemu robu
\(\boldsymbol{r}\) Naravne koordinate (lokalne koordinate elementa)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Točka v naravnih koordinatah, ki ustreza vozlišču \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Oblikovna funkcija, ki ustreza vozlišču \(\alpha\) elementa \(e\)
\(n_e\) Število vozlišč, ki sestavljajo element
\(n_g\) Skupno število globalnih vozlišč
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinate in pomik vozlišča elementa \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vektorja vozliščnih koordinat in pomikov elementa: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), itd.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globalna vektorja vozliščnih koordinat in pomikov (urejena po številki vozlišča in nato po prostostni stopnji)
\(\boldsymbol{B}\) Matrika zveze med deformacijo in pomikom (matrika B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matrika oblikovnih funkcij: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) z oblikovno funkcijo \(N_\alpha^e\) vozlišča \(\alpha\) na diagonali, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matrika togosti elementa
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integranda matrike togosti elementa (izražena v referenčni in trenutni konfiguraciji): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulacija TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulacija UL) Vektor notranjih sil elementa
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Vozliščna zunanja sila na vozlišče elementa \(\alpha\) in vektor vozliščnih zunanjih sil elementa: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globalni vektor notranjih sil in globalni vektor zunanjih sil: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); podobno za \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Vozliščna notranja sila in vozliščna zunanja sila v globalnem vozlišču \(i_g\) (vozliščna bloka \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globalna tangentna matrika togosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrika, sestavljena tako, da je blok \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) postavljen v vrstico \(i_g\), stolpec \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektor reziduala v Newton-Raphsonovi iteraciji: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Popravek v Newton-Raphsonovi iteraciji (dobljen z rešitvijo linearne enačbe \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) pri iteraciji \(i\))
\(i_g\) Številka globalnega vozlišča (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Številka globalnega vozlišča, ki ustreza lokalni številki vozlišča \(\alpha\) elementa \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Množica parov \((e, \alpha)\), ki ustrezajo številki globalnega vozlišča \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Uporablja se pri sestavljanju
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Množica trojic \((e, \alpha, \beta)\), ki ustrezajo paru številk globalnih vozlišč \((i_g, i_h)\); uporablja se pri sestavljanju matrike togosti
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indeksi vozlišč, ki sestavljajo element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indeksi prostostnih stopenj (\(1, 2, 3\) v 3D)

Napredni in konstrukcijski elementi

Simbol Opis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matrika zveze med deformacijo in pomikom, pri kateri je volumski del spremenjen z metodo B-bar (volumska komponenta je nadomeščena z matriko B, ovrednoteno v središču elementa)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Deformacijski gradient z volumskim delom, spremenjenim z metodo F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Razmerje volumnov deformacijskega gradienta, ovrednotenega v središču elementa \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor notranjih prostostnih stopenj za element z nekompatibilnimi načini (koeficienti dodatnih načinov pomika, pri katerih na robu elementa ni zahtevana zveznost)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Oblikovne funkcije za nekompatibilne načine: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Debelina lupinastega elementa
\(A\) Ploščina prečnega prereza nosilnega elementa
\(I\) Drugi moment ploščine prečnega prereza nosilnega elementa
\(G\) Strižni modul: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Sorodne postavke

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status