Tenzorski zapis in matematične osnove¶

To poglavje združuje dogovore za tenzorski zapis, indeksni zapis in Voigtov zapis, ki se uporabljajo v nadaljnjih poglavjih teoretičnega priročnika FrontISTR. Tukaj so opisani samo čisti dogovori zapisa, ki niso odvisni od definicij fizikalnih veličin. Dogovori zapisa, odvisni od konfiguracije pri gibanju kontinuuma (referenčna/trenutna konfiguracija), kot so razlikovanje med velikimi in malimi črkami ter med materialnimi in prostorskimi odvodi, so podani v Gibanje, deformacija in deformacijska mera, kjer je uveden pojem konfiguracije.

Tenzorski zapis¶

Krepki zapis vektorjev in tenzorjev¶

Kot tipografski dogovor se skalarne veličine in komponente vektorjev ter tenzorjev zapisujejo z navadno pisavo (na primer \(\rho\) in \(x_i\)), medtem ko se vektorske in tenzorske veličine same zapisujejo krepko (na primer \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) in \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteinov dogovor seštevanja¶

Če ni navedeno drugače, se uporablja Einsteinov dogovor seštevanja: kadar se isti indeks dvakrat pojavi v istem členu, se po tem indeksu izvede seštevanje. Na primer

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

in komponenta \(i,j\) produkta \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) tenzorjev \(\boldsymbol{A}\) in \(\boldsymbol{B}\) je

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Kot indeksni dogovor velja: če se \(i, j, k, l, \ldots\) uporabljajo kot indeksi brez dodatne opredelitve, pomenijo indekse, povezane s prostostnimi stopnjami (\(1, 2, 3\) v treh dimenzijah), medtem ko male grške črke \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) kot indeksi označujejo indekse vozlišč, ki sestavljajo element.

Notranji produkt, transponiranje in tenzorski produkt¶

Transponirani tenzor \(\boldsymbol{A}\) označujemo z \(\boldsymbol{A}^T\). Notranji produkt (dvojna kontrakcija) tenzorjev drugega reda \(\boldsymbol{A}\) in \(\boldsymbol{B}\) zapišemo kot

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Notranji produkt vektorjev \(\boldsymbol{a}\) in \(\boldsymbol{b}\) je \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), njun tenzorski produkt pa je \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigtov zapis¶

Napetost in deformacija sta simetrična tenzorja drugega reda glede na prostostne stopnje, koeficienti, ki predstavljajo linearno zvezo med njima, pa tvorijo tenzor četrtega reda. Neposredna obravnava teh količin v programu je neugodna z vidika računske zahtevnosti in programiranja (večdimenzionalna polja in globoko vgnezdene zanke). Zato splošni programi metode končnih elementov izkoristijo simetrijo ter napetost in deformacijo stisnejo v stolpčna vektorja, tenzor elastičnosti četrtega reda pa v dvodimenzionalno matriko. To imenujemo Voigtov zapis.

V nadaljevanju je matrična ali vektorska predstavitev tenzorske veličine \(\boldsymbol{A}\) označena z \(\hat{A}\), da jo ločimo od izvornega tenzorja.

Vektorska predstavitev napetosti in deformacije¶

Za simetrični tenzor napetosti \(\boldsymbol{\sigma}\) in tenzor deformacije \(\boldsymbol{\varepsilon}\) v dveh dimenzijah velja

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

v treh dimenzijah pa

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

in se obravnavata kot stolpčna vektorja. Enako pravilo velja za izpeljane količine, kot so variacije in diferenciali. Pomembno je, da imajo strižne komponente na strani deformacije faktor 2 (na strani napetosti ga ni). Zaradi te asimetrije lahko tenzorski notranji produkt kompaktno zapišemo kot vektorski notranji produkt

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Pri implementaciji je faktor 2 pri strižnih komponentah deformacije mogoče zlahka napačno obravnavati, zato je treba vedno upoštevati dogovor »pri napetosti ga ni / pri deformaciji je«. Povsem enak Voigtov dogovor se uporablja za količine v referenčni konfiguraciji (druga Piola-Kirchhoffova napetost \(\boldsymbol{S}\) in Green-Lagrangeova deformacija \(\boldsymbol{E}\)).

Matrična predstavitev tenzorja četrtega reda¶

Za linearno zvezo med napetostjo in deformacijo \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (v komponentni obliki \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) z uporabo simetrije \(\boldsymbol{\varepsilon}\) dobimo

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

V treh dimenzijah razporeditev \(\tilde{C}\) v materialno matriko 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) omogoča zapis izvorne tenzorske zveze kot

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

V nadaljevanju tega priročnika je materialna matrika, če ni navedeno drugače, označena z \(D\) (ali \(\hat{C}\)). Za konkretne komponente pri izotropni linearni elastičnosti glejte Linearna elastičnost.

Dogovori diferencialnih operatorjev¶

Operator simetričnega gradienta¶

Operator simetričnega gradienta \(\nabla_S\) za vektorsko polje \(\boldsymbol{u}\) je definiran kot

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

V komponentni obliki je \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Infinitezimalno deformacijo \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) je mogoče s tem operatorjem zapisati kompaktno. Razlikovanje med konfiguracijama (referenčno/trenutno), glede na kateri se pri končnih deformacijah izračunajo gradienti, je obravnavano v Gibanje, deformacija in deformacijska mera.

Materialni časovni odvod¶

Materialni časovni odvod količine \(A\) (časovni odvod, ki sledi isti materialni točki) je označen z nadpisano piko, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Hitrost in pospešek sledita temu dogovoru.

Sorodne postavke¶

Gibanje, deformacija in deformacijska mera — pojmi referenčne/trenutne konfiguracije in od konfiguracije odvisni dogovori zapisa (velike/male črke, materialni/prostorski odvodi)
Napetost in ohranitveni zakoni — izpeljava vodilnih enačb z uporabo tega zapisa
Načelo virtualnega dela — uporaba šibke oblike in Voigtovega zapisa
Linearna elastičnost — konkretna oblika materialne matrike \(D\)
Oblikovne funkcije in aproksimacija s končnimi elementi — izračun togosti elementa z Voigtovim zapisom