Enačba prevajanja toplote¶

To poglavje na ravni kontinuuma povzema vodilno enačbo prevajanja toplote, ki jo obravnava FrontISTR, in njene robne pogoje. Časovna diskretizacija in diskretizacija z metodo končnih elementov sta prepuščeni razdelku o diskretizaciji (L3d) in razdelku o algoritmu reševanja (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Vodilna enačba¶

Enačba prevajanja toplote v kontinuumu je podana kot sledi.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Pri tem \(\rho=\rho(x)\) označuje masno gostoto, \(c=c(x,T)\) specifično toploto, \(T=T(x,t)\) temperaturo, \(k=k(x,T)\) toplotno prevodnost, \(Q=Q(x,T,t)\) nastajanje toplote, \(x\) položaj in \(t\) čas. \(k_x, k_y, k_z\) so toplotne prevodnosti v posameznih smereh pri anizotropnem prevajanju toplote.

Za konkretne toplotne lastnosti, vključno s temperaturno odvisnostjo in anizotropijo, glejte Toplotne lastnosti.

Robni pogoji¶

Naj bo obravnavano področje \(S\), njegova meja pa \(\Gamma\). Ob predpostavki, da je na celotni \(\Gamma\) predpisan Dirichletov ali Neumannov robni pogoj, so robni pogoji podani kot sledi.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Funkcijski obliki \(T_1\) in \(q\) sta predpostavljeno znani. \(q\) je toplotni tok, ki zapušča mejo. Robni toplotni tok \(q\) sestavljajo naslednje tri komponente.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Pri tem je \(q_s\) porazdeljeni toplotni tok, \(q_c\) toplotni tok zaradi konvektivnega prenosa toplote, \(q_r\) pa toplotni tok zaradi sevalnega prenosa toplote.

Pri tem je \(Tc=Tc(x,t)\) temperatura okolice za konvektivni prenos toplote, \(hc=hc(x,t)\) koeficient konvektivnega prenosa toplote, \(Tr=Tr(x,t)\) temperatura okolice za sevalni prenos toplote, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) koeficient sevalnega prenosa toplote, \(\varepsilon\) emisivnost, \(\sigma\) Stefan-Boltzmannova konstanta in \(F\) faktor pogleda.

Za način določanja teh pogojev v vhodni datoteki glejte Robni pogoji in obremenitve v referenci funkcij.

Šibka oblika¶

Sklapljanje s strukturno analizo¶

Sorodne teme¶

Nestacionarno prevajanje toplote — Časovna diskretizacija in nelinearna iteracija
Toplotne lastnosti — Formulacija lastnosti materiala in temperaturne odvisnosti
Oblikovne funkcije in aproksimacija z metodo končnih elementov — Okvir za diskretizacijo FEM
Referenca funkcij: Robni pogoji in obremenitve — Vnos robnih pogojev za analizo prevajanja toplote