Okvir inkrementalne analize¶
Potreba po inkrementalni analizi¶
Kot je opisano zgoraj, je pri analizi problemov majhnih deformacij mogoče analizo po metodi končnih elementov izvesti z uporabo načela virtualnega dela, ki je ekvivalentno osnovnim enačbam, kot so ravnotežne enačbe, in z diskretizacijo te enačbe s končnimi elementi. Isto osnovno načelo virtualnega dela se uporablja tudi pri analizi problemov končnih deformacij, ki vključujejo velike deformacije konstrukcij.
Vendar pri problemih končnih deformacij enačba načela virtualnega dela postane nelinearna glede na pomik, tudi če se predpostavi linearno obnašanje materiala. Za reševanje nelinearnih enačb se običajno izvajajo iterativni izračuni z iterativno metodo.
Pri teh iterativnih izračunih se uporablja metoda inkrementalne analize, pri kateri se računanje izvaja po delih za majhne inkremente obremenitve, inkrementi pa se seštevajo, dokler ni doseženo končno deformirano stanje. Pri predpostavki problema majhnih deformacij se pri definiranju raztezka in napetosti ne razlikuje posebej med konfiguracijo pred deformacijo in po njej. To pomeni, da pri predpostavki majhnih deformacij ni pomembno, ali je konfiguracija, uporabljena za opis osnovnih enačb, konfiguracija pred deformacijo ali po njej.
Pri inkrementalni analizi problema končnih deformacij se formulacija razlikuje glede na to, ali se za referenčno konfiguracijo vzame začetna konfiguracija ali konfiguracija na začetku inkrementa. Prva se imenuje metoda Total Lagrange, druga pa metoda Updated Lagrange. Za podrobnosti glejte literaturo na koncu poglavja in sorodno gradivo.
Začetna enačba: načelo virtualnega dela v času \(t'\)¶
Obravnavajmo inkrementalno analizo, pri kateri je stanje do časa \(t\) znano, stanje v času \(t' = t + \Delta t\) pa neznano (glejte sliko 2.2.1). Ravnotežne enačbe, robni pogoji in načelo virtualnega dela v času \(t'\) (izraženi v trenutni konfiguraciji z uporabo Cauchyjeve napetosti \(^{t'}\sigma\) in linearnega dela Almansijevega raztezka \(^{t'} A_{(L)}\)) so podani v Načelu virtualnega dela.
Slika 2.2.1 Koncept inkrementalne analize
Ker pa je ta začetna enačba zapisana v (neznani) konfiguraciji v času \(t'\), dejanski postopek reševanja izbere bodisi začetno konfiguracijo \(V\) v času \(0\) bodisi trenutno konfiguracijo \(^{t'} v\) v času \(t\) kot referenčno konfiguracijo, prepiše enačbo v inkrementalni obliki in jo nato reši:
- Metoda Total Lagrange — Kot referenco uporablja začetno konfiguracijo \(V\). Uporabljata se druga PK-napetost \(\boldsymbol{S}\) in Green-Lagrangeev raztezek \(\boldsymbol{E}\).
- Metoda Updated Lagrange — Kot referenco uporablja trenutno konfiguracijo \(^{t}v\) na začetku inkrementa. Uporabljata se Cauchyjeva napetost \(\boldsymbol{\sigma}\) in linearni del Almansijevega raztezka \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).
Za prostorsko diskretizacijo obeh formulacij (matrika B in vektor notranjih sil) glejte Diskretizacijo notranjega virtualnega dela; za linearizacijo in sestavo tangentne togosti glejte Tangentno togostno matriko.
Sorodne teme¶
- Načelo virtualnega dela — Glavna začetna enačba (šibka oblika v trenutni in začetni konfiguraciji)
- Diskretizacija notranjega virtualnega dela — Matrike B in vektorji notranjih sil za TL/UL
- Tangentna togostna matrika — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\), dobljeni z linearizacijo
- Newton-Raphsonova metoda — Iterativni algoritem