Skoči na vsebino

Načelo virtualnega dela

Na podlagi ravnotežne enačbe in robnih pogojev, izpeljanih v Napetosti in zakonih ohranitve, izpeljemo načelo virtualnega dela, ki je šibka oblika robnega problema mehanike kontinuuma. Diskretizacija z metodo končnih elementov izhaja iz te šibke oblike. To poglavje predstavi obliko v trenutni konfiguraciji (izraženo s Cauchyjevo napetostjo in linearnim delom Almansijeve deformacije) ter obliko v referenčni konfiguraciji (izraženo z drugim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem in Green-Lagrangeovo deformacijo), pokaže njuno ekvivalentnost in nato potrdi redukcijo na majhne deformacije.

Ravnotežna enačba in robni pogoji

Naj bo \(\boldsymbol{g}\) prostorninska sila na enoto mase, ki deluje na kontinuum, in obravnavajmo telo, ki v trenutni konfiguraciji zaseda področje \(\Omega\). Meja \(\Gamma\) je razdeljena na geometrijsko mejo \(\Gamma_B\), na kateri je predpisan pomik \(\bar{\boldsymbol{u}}\), in mehansko mejo \(\Gamma_t\), na kateri je predpisana obtežba \(\bar{\boldsymbol{t}}\), pri čemer velja \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) in \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Za statični problem dobimo ravnotežno enačbo tako, da iz zakona o ohranitvi gibalne količine, podanega v Napetosti in zakonih ohranitve, izpustimo vztrajnostni člen:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{v} \ \Omega \]

Robni pogoji so

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{na} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

V nadaljevanju je načelo virtualnega dela izpeljano kot šibka oblika ravnotežne enačbe in mehanskega robnega pogoja \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Geometrijski robni pogoj \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) je vključen z izbiro testne funkcije.

Šibka oblika v trenutni konfiguraciji

V šibki obliki definiramo dopustni prostor neznanega pomika in prostor testnih funkcij kot

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]

Pri tem je \(d\) prostorska dimenzija, \(H^1(\Omega)\) Sobolevov prostor funkcij, ki so kvadratno integrabilne skupaj s svojimi prvimi šibkimi odvodi, \(\delta\) pa označuje variacijo. V zapisu trenutne konfiguracije je \(\Omega\) deformirana konfiguracija; pri dejanskem numeričnem reševanju se preslika nazaj na referenčno konfiguracijo ali na znano vmesno konfiguracijo.

Če ravnotežno enačbo pomnožimo z utežjo \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ter uporabimo Gaussov izrek o divergenci in mehanski robni pogoj, dobimo naslednje načelo virtualnega dela v trenutni konfiguraciji.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Pri tem je \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) linearni del Almansijevega tenzorja deformacije, definiran kot

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Njegova variacija je \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Iščemo torej \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), tako da enačba virtualnega dela velja za vsak \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Leva stran je virtualno delo notranjih sil, desna stran pa virtualno delo zunanjih sil zaradi predpisane obtežbe in prostorninske sile.

Ker je ta enačba zapisana na deformiranem področju (v trenutni konfiguraciji), dejanski postopek reševanja ponovno izbere začetno konfiguracijo \(\Omega_0\) (referenčno konfiguracijo) ali znano vmesno konfiguracijo kot referenčno konfiguracijo, enačbo prepiše v inkrementalno obliko in jo nato reši. Za konkretno izbiro referenčne konfiguracije (Total Lagrange / Updated Lagrange) in inkrementalno razčlenitev glejte Okvir inkrementalne analize.

Šibka oblika v začetni konfiguraciji

Obravnavajmo telo, ki v referenčni konfiguraciji zaseda področje \(\Omega_0\), njegova meja \(\Gamma_0\) pa je razdeljena na \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Preslikava zapisa trenutne konfiguracije nazaj na referenčno konfiguracijo da konjugirani par napetost–deformacija, ki ga sestavljata drugi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor \(\boldsymbol{S}\) in Green-Lagrangeova deformacija \(\boldsymbol{E}\). Načelo virtualnega dela v začetni konfiguraciji je nato

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Pri tem je \(\rho_0\) masna gostota v referenčni konfiguraciji in je zaradi zveze o ohranitvi mase \(\rho_0 = J\rho\) ta zapis ekvivalenten zapisu prostorninske sile v trenutni konfiguraciji.

Ekvivalentnost zapisov v trenutni in začetni konfiguraciji

Virtualno delo notranjih sil v obeh zapisih sovpada prek transformacije z deformacijskim gradientom \(\boldsymbol{F}\) in volumskim razmerjem \(J = \det \boldsymbol{F}\), in sicer

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Členi zunanjih sil so prav tako ekvivalentni zaradi ohranitve mase in transformacije obtežbe. Enačba virtualnega dela v trenutni konfiguraciji in enačba v začetni konfiguraciji zato izražata isto načelo v različnih konfiguracijah. Metoda reševanja, ki se nanaša na referenčno konfiguracijo, ustreza metodi Total Lagrange, metoda reševanja, ki se nanaša na trenutno konfiguracijo (neposredno predhodno konvergirano konfiguracijo), pa metodi Updated Lagrange.

Redukcija na majhne deformacije

Ob predpostavkah majhnih deformacij \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) in \(J \approx 1\) razlika med trenutno in referenčno konfiguracijo izgine, drugi PK napetostni tenzor sovpade s Cauchyjevim napetostnim tenzorjem (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), tako Green-Lagrangeova deformacija kot linearni del Almansijeve deformacije pa se reducirata na tenzor neskončno majhnih deformacij \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Načelo virtualnega dela se nato reducira na šibko obliko, izraženo s Cauchyjevim napetostnim tenzorjem \(\boldsymbol{\sigma}\) in neskončno majhno deformacijo \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

To je šibka oblika, ki se neposredno uporablja za diskretizacijo pri linearno elastični statični analizi z majhnimi deformacijami (Linearna elastična statična analiza (uvod in dodatek) izhaja iz te oblike in pokaže sestavo togosti elementa \(\boldsymbol{K}^e\) prek sestavljanja globalne enačbe \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Če vstavimo linearno elastični konstitutivni zakon \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) in v Voigtovem zapisu zapišemo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), šibka oblika postane

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ki ima to obliko.

Sorodne teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status