Napetost in zakoni ohranitve¶

To poglavje ureja definicije in medsebojne zveze napetostnih tenzorjev skupaj z ravnotežnimi enačbami in simetrijo napetosti, izpeljanima iz ohranitve mase, gibalne količine in vrtilne količine. Trije napetostni tenzorji — Cauchyjeva napetost \(\boldsymbol{\sigma}\), prva Piola-Kirchhoffova napetost \(\boldsymbol{P}\) in druga Piola-Kirchhoffova napetost \(\boldsymbol{S}\) — so uvedeni glede na to, katera konfiguracija se uporablja za referenčno površino in vektor sile. Za definicije konfiguracije, gibanja in gradienta deformacije glejte Gibanje, deformacija in raztezek, za seznam simbolov pa Seznam simbolov fizikalnih količin.

Cauchyjev napetostni tenzor¶

Naj bo \(d\boldsymbol{f}\) sila, ki deluje na neskončno majhno površino v točki \(\boldsymbol{x}\) v trenutni konfiguraciji (ploščina \(d\Gamma\), zunanja enotska normala \(\boldsymbol{n}\)), in definirajmo vektor površinske sile \(\boldsymbol{t}\) kot silo na enoto površine z \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) je odvisen tako od položaja \(\boldsymbol{x}\) kot od normale \(\boldsymbol{n}\). Uporaba ohranitve gibalne količine na neskončno majhnem tetraedru pokaže, da je \(\boldsymbol{t}\) linearen v \(\boldsymbol{n}\), zato obstaja tenzor drugega reda \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), za katerega velja

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

za poljuben \(\boldsymbol{n}\) (Cauchyjev izrek o napetosti). Tenzor \(\boldsymbol{\sigma}\) se imenuje Cauchyjev napetostni tenzor in tudi prava napetost, ker predstavlja silo na enoto površine, merjeno glede na geometrijo trenutne konfiguracije. Komponenta \(\sigma_{ij}\) predstavlja komponento \(x_i\) sile na enoto površine, ki deluje na neskončno majhno površino, pravokotno na koordinatno os \(x_j\) v trenutni konfiguraciji.

Kot je pozneje pokazano iz ohranitve vrtilne količine, je Cauchyjeva napetost simetrični tenzor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

V treh dimenzijah ima zato šest neodvisnih komponent (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorski zapis napetosti v Voigtovem zapisu predpostavlja to simetrijo (glejte Tenzorski zapis in matematične osnove). Cauchyjeva napetost se uporablja za izpis napetosti pri geometrijsko nelinearni analizi FrontISTR z metodo Updated Lagrange in pri analizi majhnih deformacij.

Prva in druga Piola-Kirchhoffova napetost¶

Pri končnih deformacijah je pogosto priročno izraziti napetost glede na površine in vektorje v referenčni konfiguraciji, zato uvedemo dva Piola-Kirchhoffova napetostna tenzorja. Naj bo ploščina neskončno majhne površine v referenčni konfiguraciji \(d\Gamma_0\), njena zunanja enotska normala pa \(\boldsymbol{N}\).

Prva Piola-Kirchhoffova napetost (prva PK-napetost, nominalna napetost) \(\boldsymbol{P}\) je definirana kot napetostni tenzor, dobljen, ko silo \(d\boldsymbol{f}\) v trenutni konfiguraciji prenesemo na neskončno majhno površino v referenčni konfiguraciji:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Uporaba Nansonove formule \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) skupaj s Cauchyjevim izrekom o napetosti da zvezo s Cauchyjevo napetostjo

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Prva PK-napetost na splošno ni simetrična.

Druga Piola-Kirchhoffova napetost (druga PK-napetost) \(\boldsymbol{S}\) je definirana kot napetostni tenzor, dobljen tako, da silo \(d\boldsymbol{f}\) iz trenutne konfiguracije z \(\boldsymbol{F}^{-1}\) preslikamo nazaj v referenčno konfiguracijo in jo uporabimo na neskončno majhni površini v referenčni konfiguraciji:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Tako vektor sile kot površina, na katero deluje, sta izražena s količinami referenčne konfiguracije, zato je tenzor invarianten na rotacijo togega telesa in simetričen. Njegova zveza s prvo PK-napetostjo in transformacija iz Cauchyjeve napetosti sta

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Druga PK-napetost se izpelje iz hiperelastične funkcije deformacijske energije \(W(\boldsymbol{C})\) kot \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) in se pri metodi Total Lagrange uporablja skupaj z Green-Lagrangeevim raztezkom \(\boldsymbol{E}\) kot konjugirani par dela \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referenčne konfiguracije in lastnosti simetrije so povzete spodaj. V meji majhnih deformacij (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) vse tri napetosti sovpadejo.

Napetostni tenzor	Referenčna površina	Vektor sile	Simetrija	Uporaba
Cauchyjeva napetost \(\boldsymbol{\sigma}\)	Trenutna konfiguracija \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Trenutna konfiguracija \(d\boldsymbol{f}\)	Simetrična	Metoda Updated Lagrange / analiza majhnih deformacij
Prva PK-napetost \(\boldsymbol{P}\)	Referenčna konfiguracija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Trenutna konfiguracija \(d\boldsymbol{f}\)	Na splošno nesimetrična	Ravnotežne enačbe v referenčni konfiguraciji
Druga PK-napetost \(\boldsymbol{S}\)	Referenčna konfiguracija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referenčna konfiguracija \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetrična	Metoda Total Lagrange / hiperelastičnost

Ohranitvi mase in gibalne količine ter ravnotežne enačbe¶

Naj bo \(\rho\) gostota mase v trenutni konfiguraciji, \(\rho_0\) pa gostota mase v referenčni konfiguraciji. Zakon ohranitve mase \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) se skupaj s transformacijo volumskega elementa \(dv = J\, dV\) skrči na lokalno obliko

\[ \rho_0 = J \rho \]

To je lokalna zveza ohranitve mase.

Naj bo \(\boldsymbol{g}\) prostorninska sila na enoto mase, \(\boldsymbol{a}\) pa pospešek. Uporaba Cauchyjevega izreka o napetosti in Gaussovega divergenčnega izreka na ohranitev gibalne količine (prvi Eulerjev zakon gibanja) da lokalno ravnotežno enačbo (enačbo gibanja) v trenutni konfiguraciji:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Če integral prepišemo v referenčni konfiguraciji z uporabo Nansonove formule in \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), dobimo lokalno obliko v referenčni konfiguraciji:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Obe obliki sta ekvivalentni prek pravila transformacije napetosti in \(\rho_0 = J\rho\). Če zanemarimo vztrajnostni člen, dobimo

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

kar je enačba statičnega ravnotežja in predstavlja izhodišče statične analize FrontISTR (linearne in nelinearne).

Ohranitve vrtilne količine in simetrija napetosti¶

Kombinacija ohranitve vrtilne količine (drugi Eulerjev zakon gibanja) z ravnotežno enačbo iz ohranitve gibalne količine da simetrijo Cauchyjevega napetostnega tenzorja:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Zato ima v treh dimenzijah šest neodvisnih komponent. Če transponiramo obe strani transformacije \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) in uporabimo nesingularnost \(\boldsymbol{F}\), vidimo, da je tudi druga PK-napetost simetrična:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

in ima zato prav tako šest neodvisnih komponent. Nasprotno pa prva PK-napetost \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) na splošno ni simetrična; velja le zveza \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (to pomeni, da je \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) simetrična) in ima devet neodvisnih komponent.

Te simetrije so osnova za izražanje napetosti kot šestkomponentnega vektorja v Voigtovem zapisu. Za pravila Voigtovega zapisa in sestavo materialnih matrik glejte Tenzorski zapis in matematične osnove ter Linearno elastičnost.