Gibanje, deformacija in mera deformacije¶

Referenčna in trenutna konfiguracija¶

Definicija konfiguracij¶

Za razlikovanje, katera oblika v času se uporablja kot osnova za opis fizikalnih veličin, ta priročnik uporablja dve konfiguraciji.

Referenčna konfiguracija: nedeformirana oblika na začetku analize (čas \(0\)), imenovana tudi začetna konfiguracija. Točka v referenčni konfiguraciji je predstavljena z materialno koordinato \(\boldsymbol{X}\), prostornino \(V\) in površino \(S\).
Trenutna konfiguracija: deformirana oblika ob času \(t\). Točka v trenutni konfiguraciji je predstavljena s prostorsko koordinato \(\boldsymbol{x}\), prostornino \(v\) in površino \(s\).

Gibanje je predstavljeno kot preslikava med tema konfiguracijama, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), pomik pa je definiran kot \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Zapis glede na konfiguracijo (velike/male črke)¶

Velikost črk simbola razlikuje konfiguracijo, ki ji pripada fizikalna veličina.

Veličine referenčne konfiguracije se zapisujejo z velikimi simboli (na primer \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Veličine trenutne konfiguracije se zapisujejo z malimi simboli (na primer \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Veličine, ki povezujejo obe konfiguraciji, na primer prvi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor \(\boldsymbol{P}\), uporabljajo običajni zapis in so po potrebi izrecno opredeljene v besedilu.
Pri teoriji majhnih deformacij razlika med konfiguracijama izgine, zato se uporabljajo samo simboli z malimi črkami (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradienta glede na referenčno in trenutno konfiguracijo¶

Zapis in pomen sta odvisna od konfiguracije, glede na katero se izvaja prostorsko odvajanje.

Gradient glede na referenčno konfiguracijo \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient glede na materialne koordinate. Primer: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient glede na trenutno konfiguracijo \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient glede na prostorske koordinate. Primer: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Povezana sta z \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Za dogovor o časovnih odvodih (materialni časovni odvod \(\dot{(\cdot)}\)) glejte Tenzorski zapis in matematične osnove.

Opis gibanja¶

Preslikava gibanja ter materialni/prostorski opis¶

Če kontinuum obravnavamo kot množico materialnih točk, označenih z njihovimi položaji \(\boldsymbol{X}\) ob času \(0\), je gibanje predstavljeno s preslikavo \(\phi\), ki vsaki materialni točki \(\boldsymbol{X}\) ob času \(t\) priredi položaj \(\boldsymbol{x}\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Ob dogovoru, da je referenčna konfiguracija začetna konfiguracija, velja \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Glede na izbiro neodvisnih spremenljivk razlikujemo dva opisa.

Materialni opis (Lagrangeev opis): fizikalne veličine predstavlja kot funkcije \((\boldsymbol{X}, t)\). V mehaniki trdnin je to naravna izbira, ker je referenčna konfiguracija podana kot nespremenljiva oblika.
Prostorski opis (Eulerjev opis): fizikalne veličine predstavlja kot funkcije \((\boldsymbol{x}, t)\). To je standardni opis v mehaniki tekočin.

Strukturna analiza FrontISTR temelji predvsem na materialnem opisu, metoda Updated Lagrange pa uporablja tudi veličine v prostorskem opisu, ker se trenutna konfiguracija uporabi kot nova referenčna konfiguracija.

Pomik, hitrost in pospešek¶

Kot je navedeno v prejšnjem razdelku, je pomik \(\boldsymbol{u}\) definiran z \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Njegova velikost ni omejena, zato so vključene končne deformacije. Vektorja hitrosti in pospeška sta definirana kot materialna časovna odvoda \(\boldsymbol{u}\) pri fiksni materialni točki:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Ti enačbi definirata hitrost in pospešek.

Deformacijski gradient in deformacijski tenzorji¶

Tenzor deformacijskega gradienta¶

Temeljna veličina v mehaniki kontinuuma pri končnih deformacijah je tenzor deformacijskega gradienta \(\boldsymbol{F}\). Gre za linearno preslikavo, ki neskončno majhen črtni element \(d\boldsymbol{X}\) v referenčni konfiguraciji preslika v neskončno majhen črtni element \(d\boldsymbol{x}\) v trenutni konfiguraciji, definiran pa je kot gradient preslikave gibanja glede na materialne koordinate:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Pri tej definiciji (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) velja v nedeformiranem stanju \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) se široko uporablja za definicijo deformacij in napetosti ter za transformacijo fizikalnih veličin med konfiguracijami.

Volumsko razmerje¶

Razmerje med neskončno majhno prostornino \(dV\) v referenčni konfiguraciji in ustrezno neskončno majhno prostornino \(dv\) v trenutni konfiguraciji se imenuje volumsko razmerje \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Invertibilnost kontinuuma zahteva \(J > 0\). Ohranjanje mase je izraženo kot \(\rho_0 = J\rho\).

Desni in levi Cauchy-Greenov deformacijski tenzor¶

Ker deformacijski gradient \(\boldsymbol{F}\) vključuje rotacijo togega telesa, se za mere same deformacije uporabljajo veličine, iz katerih je rotacija togega telesa odstranjena. Desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor \(\boldsymbol{C}\) (referenčna konfiguracija) in levi Cauchy-Greenov deformacijski tenzor \(\boldsymbol{b}\) (trenutna konfiguracija) sta definirana kot

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Oba sta simetrična tenzorja in imata enake lastne vrednosti (kvadrate glavnih raztezkov). Glavni invarianti hiperelastičnih funkcij deformacijske energije se izražajo s tema tenzorjema.

Tenzorji deformacije¶

Green-Lagrangeov tenzor deformacije¶

Kot mera deformacije glede na referenčno konfiguracijo je Green-Lagrangeov tenzor deformacije \(\boldsymbol{E}\) definiran kot

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Gre za simetrični tenzor, ki predstavlja spremembo notranjega produkta neskončno majhnih vektorjev v referenčni konfiguraciji, je invarianten na rotacijo togega telesa in v nedeformiranem stanju izpolnjuje \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Z uporabo \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) dobimo

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

S tem je deformacija izražena kot vsota členov prvega in drugega reda v gradientu pomika; člen drugega reda predstavlja geometrijsko nelinearnost. V metodi Total Lagrange se uporablja kot del delovno konjugiranega para \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansijev tenzor deformacije¶

Kot mera deformacije glede na trenutno konfiguracijo je Almansijev tenzor deformacije \(\boldsymbol{e}\) definiran kot

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Z Green-Lagrangeovo deformacijo je povezan prek \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (povratna preslikava).

Tenzor neskončno majhnih deformacij¶

Ko je gradient pomika majhen (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), je mogoče člen drugega reda Green-Lagrangeove deformacije zanemariti. Ker nato razlika med konfiguracijama izgine, se izraz reducira na tenzor neskončno majhnih deformacij \(\boldsymbol{\varepsilon}\), pri čemer je gradient zapisan v prostorskih koordinatah:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR uporablja to mero deformacije pri linearni statični analizi, modalni analizi, analizi frekvenčnega odziva in linearni dinamični analizi. Analiza končnih deformacij uporablja \(\boldsymbol{E}\) v metodi Total Lagrange in tenzor hitrosti deformacije \(\boldsymbol{D}\) glede na trenutno konfiguracijo v metodi Updated Lagrange.