Oblikovne funkcije za 3D-polne elemente¶

To poglavje povzema sisteme naravnih koordinat in eksplicitne oblike oblikovnih funkcij \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), uvedenih v Oblikovnih funkcijah in končnoelementnem približku, za tridimenzionalne polne elemente, ki jih FrontISTR uporablja pri kontinuumski analizi. Šest vrst elementov so tetraedri prvega/drugega reda (341/342), trikotne prizme prvega/drugega reda (351/352) in heksaedri prvega/drugega reda (361/362). Za vrstni red vozlišč in številke ploskev v formatu mreže HEC-MW glejte Knjižnico elementov v funkcijskem priročniku.

Postopek konstrukcije elementne integracije iz teh oblikovnih funkcij in determinante Jacobiana sledi Numerični integraciji. Formulacije B-bar, F-bar in nezdružljive formulacije za 361 ter oblikovne funkcije za nosilne in lupinske elemente so obravnavane v Naprednih formulacijah elementov.

Sistemi naravnih koordinat in notranji vrstni red vozlišč¶

Oblikovne funkcije so definirane na naravnih koordinatah \(\boldsymbol{r}\) posameznega elementa. Tridimenzionalni polni elementi glede na obliko uporabljajo naslednje tri sisteme naravnih koordinat.

Heksaedri (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Tetraedri (341/342): volumenske koordinate \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), kjer je \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) in \(L_i \ge 0\). Če kot neodvisne spremenljivke vzamemo \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), je \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Trikotne prizme (351/352): volumenski koordinati \((\xi, \eta)\) osnovnega trikotnika (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) sta združeni z osno koordinato \(\zeta \in [-1, 1]\) v \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Pomožna veličina \(a = 1 - \xi - \eta\) se uporablja kot tretja volumenska koordinata na osnovi.

Pri elementih prvega reda je oštevilčenje vozlišč elementa enako v vhodnem formatu HEC-MW in notranjem formatu. Pri elementih drugega reda se konvencije vrstnega reda vmesnih vozlišč razlikujejo. FrontISTR kot vhod sprejme format HEC-MW (najprej so navedena ogliščna vozlišča okoli elementa, nato vmesna vozlišča po vrstnem redu robov 1-2, 2-3, …), medtem ko so oblikovne funkcije v knjižnici elementov izvedene za drugačen vrstni red vozlišč.

Razliko med formatoma odpravi hecmw2fstr_mesh_conv, ki se pokliče takoj po branju mreže in prerazporedi vozlišča vsakega elementa. Med tridimenzionalnimi polnimi elementi se pretvorita naslednji dve vrsti.

Vrsta elementa	Pretvorbena tabela	Opis
342 (tetraeder drugega reda)	`Table342`	Prerazporedi 10 vozlišč v \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (trikotna prizma drugega reda)	`Table352`	Prerazporedi 15 vozlišč v \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Ker se prerazporeditev izvede neposredno v polju, ki hrani povezanost elementov, vsi nadaljnji klici knjižnice elementov uporabljajo notranji vrstni red vozlišč FrontISTR. Za heksaedrski element drugega reda 362 pretvorbena tabela ne obstaja, ker je vrstni red vmesnih vozlišč v vhodu HEC-MW in notranjem formatu FrontISTR enak. Pri izpisu rezultatov inverzna pretvorba fstr2hecmw_mesh_conv pred zapisom obnovi vrstni red vozlišč HEC-MW, zato morajo uporabniki pri vhodu in izhodu poznati samo format HEC-MW. Številke vozlišč v spodnjih oblikovnih funkcijah uporabljajo pretvorjeni notranji format FrontISTR.

Oblikovne funkcije elementov prvega reda¶

Za tetraedrski element prvega reda (341) so oblikovne funkcije kar volumenske koordinate:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Za element trikotne prizme prvega reda (351) so oblikovne funkcije produkti linearnih oblikovnih funkcij osnovnega trikotnika (\(a, \xi, \eta\)) in linearnih osnih oblikovnih funkcij (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Za heksaedrski element prvega reda (361) so oblikovne funkcije tenzorski produkti linearnih oblikovnih funkcij v treh koordinatnih smereh:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Tu so \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) vrednosti naravnih koordinat vozlišča \(\alpha\) (vsaka komponenta je \(\pm 1\)).

Oblikovne funkcije elementov drugega reda¶

Pri tetraedrskem elementu drugega reda (342) se oblikovne funkcije delijo na štiri ogliščna in šest vmesnih vozlišč:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Vmesna vozlišča 5–10 ustrezajo sredinam robov 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 in 3-4.

Element trikotne prizme drugega reda (352) je sestavljen iz šestih ogliščnih vozlišč, šestih vmesnih vozlišč na trikotnih ploskvah in treh vmesnih vozlišč na osnih robovih:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Vmesna vozlišča 7–9 ustrezajo sredinam robov spodnjega trikotnika (\(\zeta = -1\)), vozlišča 10–12 sredinam robov zgornjega trikotnika (\(\zeta = +1\)), vozlišča 13–15 pa sredinam osnih robov.

Heksaedrski element drugega reda (362) je 20-vozliščni element družine Serendipity. Naj bodo vrednosti naravnih koordinat vozlišča \(\alpha\) enake \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Za ogliščna vozlišča (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), vsaka komponenta \(\pm 1\)) velja

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Za vmesna vozlišča (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), kjer je ena od treh naravnih koordinat enaka \(0\), drugi dve pa \(\pm 1\)) imajo vozlišča z \(\xi_\alpha = 0\) (robovi v smeri \(\xi\))

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Vmesna vozlišča, katerih rob je usmerjen po osi \(\eta\) ali \(\zeta\), so podana analogno, pri čemer se ustrezna naravna koordinata izloči s kvadratnim členom.

Sorodne teme¶

Oblikovne funkcije in končnoelementni približek — matematična definicija oblikovnih funkcij \(N_\alpha^e\)
Prostorski odvodi oblikovnih funkcij — odvodi oblikovnih funkcij po globalnih koordinatah in Jacobian
Numerična integracija — integracijske točke, uteži in približna integracija elementa
Napredne formulacije elementov — B-bar, F-bar, nezdružljivi elementi, lupine in nosilci
Knjižnica elementov (funkcije) — vrstni red vozlišč in številke ploskev v formatu HEC-MW
Seznam simbolov fizikalnih veličin