Numerična integracija¶

Vektorja notranjih sil elementa \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) in matrika togosti elementa \(\boldsymbol{K}^e\), dobljeni v Diskretizaciji notranjega virtualnega dela in Zunanjem virtualnem delu in sestavljanju globalne enačbe, imajo obliko integralov po domeni elementa \(\Omega^e\) ali \(\Omega^e_0\). FrontISTR jih numerično ovrednoti z Gaussovo kvadraturo.

Gaussova kvadratura in sprememba spremenljivk¶

Gaussova kvadratura integral po referenčni domeni \(\Xi\) približa z linearno kombinacijo vrednosti integranda v integracijskih točkah \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) in uteži \(w_i\). Pri uporabi na domeni elementa \(\Omega^e\) se izvede sprememba spremenljivk prek preslikave \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\):

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

kjer je \(n_q\) število integracijskih točk, \(J_{\xi_i}\) pa determinanta transformacijskega Jacobiana. Referenčna domena \(\Xi\) je definirana za vsako vrsto elementa (za heksaeder \([-1,1]^3\); za trikotnike, tetraedre in prizme ustrezne referenčne oblike), integracijske točke \(\boldsymbol{\xi}_i\) in uteži \(w_i\) pa so podane kot numerične tabele. Površinski integrali se obravnavajo v isti obliki s preslikavo ploskve elementa iz dvodimenzionalne referenčne domene.

Značilna števila integracijskih točk, ki jih uporablja FrontISTR, so navedena spodaj (za povezavo z vrstami elementov glejte Shemo oštevilčenja elementov in knjižnico oblikovnih funkcij).

Vrsta elementa	Kvadraturno pravilo	Število integracijskih točk
4-vozliščni tetraeder (`tet4n`)	1-točkovno pravilo	1
10-vozliščni tetraeder (`tet10n`)	4-točkovno pravilo	4
6-vozliščna trikotna prizma (`prism6n`)	2-točkovno pravilo	2
15-vozliščna trikotna prizma (`prism15n`)	9-točkovno pravilo	9
8-vozliščni heksaeder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-vozliščni heksaeder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-vozliščni štirikotnik (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-vozliščni štirikotnik (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-vozliščni trikotnik (`tri3n`)	1-točkovno pravilo	1
6-vozliščni trikotnik (`tri6n`)	3-točkovno pravilo	3

Za heksaedrske, štirikotne in linijske elemente se uporabljajo tenzorski produkti Gauss-Legendreovega pravila v posameznih koordinatnih smereh. Trikotniki, tetraedri in trikotne prizme uporabljajo posebna pravila, prilagojena simpleksnim geometrijam (razporeditve točk, ki polinome po samem trikotniku integrirajo eksaktno).

Uporaba pri integraciji elementa¶

Pri integraciji elementa se naravne koordinate \(\boldsymbol{r}\) uporabljajo kot koordinate referenčne domene (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), preslikava v fizikalne koordinate pa je podana z interpolacijo koordinat vozlišč z oblikovnimi funkcijami. Glede na izbiro referenčne konfiguracije (Okvir prirastne analize) se uporabljata naslednji formulaciji.

Totalna Lagrangeeva metoda (integracija po referenčni konfiguraciji \(\Omega^e_0\)): preslikava in Jacobian sta

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

notranja sila elementa in matrika togosti pa se približata kot

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Vse veličine \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) se ovrednotijo v integracijski točki \(\boldsymbol{r}_i\).

Posodobljena Lagrangeeva metoda (integracija po trenutni konfiguraciji \(\Omega^e\)): preslikava in Jacobian sta

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

in kot približka se uporabita

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Edina razlika med formulacijama je, ali so koordinate vozlišč, podane preslikavi, \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ali \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integracijske točke, uteži in struktura zanke po integracijskih točkah so skupne.

Polna in reducirana integracija¶

Integracija z dovolj integracijskimi točkami, da se polinomska stopnja integranda integrira eksaktno, se imenuje polna integracija, integracija z eno ravnjo manj integracijskih točk pa reducirana integracija. Reducirana integracija se uporablja za ublažitev strižnega in volumskega zaklepanja, vendar zahteva obravnavo lažnih deformacijskih načinov, kot so načini peščene ure. Število integracijskih točk za posamezne vrste elementov in izbira med polno in reducirano integracijo sta obravnavana v Shemi oštevilčenja elementov in knjižnici oblikovnih funkcij in naslednjih razdelkih ter v Naprednih formulacijah elementov.

Sorodne teme¶

Prostorski odvodi oblikovnih funkcij — izračun Jacobiana
Diskretizacija notranjega virtualnega dela — veličine, ovrednotene z numerično integracijo
Napredne formulacije elementov — uporaba reducirane integracije