Skoči na vsebino

Virtualno delo zunanjih sil in sestavljanje globalnih enačb

V poglavju Diskretizacija virtualnega dela notranjih sil je bila leva stran šibke oblike zbrana v vektor notranjih sil elementa \(\boldsymbol{q}^e\) (metoda UL) oziroma \(\boldsymbol{Q}^e\) (metoda TL). V tem poglavju iz virtualnega dela zunanjih sil uvedemo vektor vozliščnih zunanjih sil elementa \(\boldsymbol{F}^e\), nato z operacijo sestavljanja preuredimo in seštejemo vozliščne veličine elementov po globalnih številkah vozlišč ter na koncu dobimo sistem nelinearnih enačb za vozliščne pomike, ki ga rešuje nelinearna strukturna analiza FrontISTR.

Razcep virtualnega dela zunanjih sil po elementih

Desno stran načela virtualnega dela je mogoče po elementih razcepiti na virtualno delo zunanjih sil, ki ga sestavljajo prostorninske (telesne) sile in predpisane površinske sile na mehanskih mejah. Za matrični zapis interpolacije pomika, uvedene v Oblikovnih funkcijah in aproksimaciji s končnimi elementi, uporabimo blok \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), v katerem je oblikovna funkcija \(N_\alpha^e\) vozlišča \(\alpha\) razporejena po diagonali, ter \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), kjer so ti bloki zloženi vodoravno, tako da velja \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Ko to vstavimo v virtualno delo zunanjih sil, zapisano v referenčni konfiguraciji, dobimo

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Pri tem je vektor vozliščnih zunanjih sil elementa razporejen kot \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). S tem se virtualno delo zunanjih sil zapiše v enaki obliki »vektor vozlišč elementa × testna funkcija« kot notranje sile (pri zapisu v trenutni konfiguraciji dobimo isto obliko z zamenjavami \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) in \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Sestavljanje vozliščnih veličin elementov

Vozliščne veličine \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\), dobljene za posamezne elemente, se seštejejo v globalne vektorje, urejene po globalnih številkah vozlišč. Globalno številko vozlišča, ki ustreza lokalni številki vozlišča \(\alpha\) elementa \(\Omega^e\), zapišemo kot

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Tako se vozliščna veličina elementa ujema z ustrezno komponento globalne vozliščne veličine (na primer \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Ker si vozlišče \(i_g\) praviloma deli več elementov, uvedemo množico parov \((e, \alpha)\), katerih globalna številka vozlišča je \(i_g\),

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Če s to množico prepišemo vsoto kot \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), dobimo vozliščno notranjo silo in globalni vektor notranjih sil za vseh \(n_g\) vozlišč,

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) ustreza rezultanti vozliščnih notranjih sil elementov, ki delujejo v vozlišču \(i_g\), in je enak \(\boldsymbol{0}\), kadar ni zunanje sile in je ravnotežje izpolnjeno. Z enakim postopkom pri metodi UL dobimo \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); ker po vrednosti velja \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), v nadaljevanju uporabljamo oznako \(\boldsymbol{Q}\), razen kjer je razlikovanje potrebno. Globalni vektor zunanjih sil \(\boldsymbol{F}\) dobimo z enakim seštevanjem.

V implementaciji množice \(\mathcal{E}(i_g)\) ne tvorimo eksplicitno, temveč prispevke prištevamo ustreznim komponentam znotraj zanke po elementih.

Inicializiraj globalni vektor notranjih sil Q na 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (število elementov)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globalni vektor zunanjih sil \(\boldsymbol{F}\) se sestavi po enakem postopku. Operacijo, pri kateri se vozliščne veličine elementov prištevajo in shranjujejo v vektorje in matrike, oštevilčene z globalnimi številkami vozlišč, imenujemo sestavljanje (assemble). Za tenzorje drugega reda, povezane z dvema številkama vozlišč (na primer matrike togosti), dobimo enakovredno operacijo sestavljanja z množico \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (za konkretno konstrukcijo glejte Tangentno matriko togosti).

Nelinearne enačbe, ki jih je treba rešiti

Ko sestavljene notranje in zunanje sile vstavimo v načelo virtualnega dela in upoštevamo, da mora enačba veljati za poljubno testno funkcijo \(\delta\boldsymbol{u}^n\), ki izpolnjuje geometrijske robne pogoje, dobimo

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

V okviru inkrementalne analize (Okvir inkrementalne analize) ponovno uvedemo časovni indeks \(_{n+1}\) in opustimo nadpis \(^n\), ki označuje globalni vozliščni vektor. Enačba, ki jo je treba rešiti, je tako

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Diskretizirani robni problem določanja vozliščnega pomika \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) v času \(t_{n+1}\) se s tem reducira na reševanje te nelinearne enačbe za pomik skupaj z geometrijskimi robnimi pogoji. Linearizacija enačbe in konstrukcija tangentne matrike togosti sta opisani v Tangentni matriki togosti, iterativni postopek pa v Newton-Raphsonovi metodi.

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status