Diskretizacija notranjega virtualnega dela¶

Enačba virtualnega dela v času \(t + \Delta t\), predstavljena v Okviru prirastne analize, ima glede na izbiro referenčne konfiguracije dve obliki: posodobljeno Lagrangeevo in totalno Lagrangeevo formulacijo. V tem poglavju se končnoelementni približek, uveden v Oblikovnih funkcijah in končnoelementnem približku ter Prostorskih odvodih oblikovnih funkcij, uporabi za prostorsko diskretizacijo notranjega virtualnega dela obeh formulacij in za določitev vektorjev notranjih sil elementa \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) in \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Za element \(e\) naj bodo sestavna vozlišča \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), pomiki \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), vektor vozliščnih pomikov elementa pa naj bo urejen kot \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtualni pomik \(\delta \boldsymbol{u}^e\) je definiran v istem vrstnem redu. Pomik znotraj elementa se interpolira z oblikovnimi funkcijami kot \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Notranje virtualno delo v posodobljeni Lagrangeevi formulaciji¶

V posodobljeni Lagrangeevi formulaciji se v času \(t\) trenutna konfiguracija \({}^{t}\Omega\) uporablja kot referenčna konfiguracija, notranje virtualno delo pa se s Cauchyjevo napetostjo \(\boldsymbol{\sigma}\) in linearnim delom Almansijeve deformacije \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) zapiše kot

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Vsako komponento \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) je mogoče s koordinatami trenutne konfiguracije \(\boldsymbol{x}\) izraziti kot linearno kombinacijo odvodov oblikovnih funkcij \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) in vozliščnih virtualnih pomikov \(\delta u^e_{i\alpha}\). V Voigtovem zapisu se to združi kot

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Vozliščni blok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) nastane z razporeditvijo \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) po Voigtovi konvenciji v matriko \(6 \times 3\), \(\boldsymbol{B}_L\) pa je matrika deformacija-pomik za formulacijo UL. Če to vstavimo v notranje virtualno delo in izpostavimo \(\delta \boldsymbol{u}^e\), dobimo

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Pri \(\boldsymbol{q}^e\) je vozliščni blok \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) notranja sila elementa \(\Omega^e\), ki deluje na sestavno vozlišče \(\alpha\).

Notranje virtualno delo v totalni Lagrangeevi formulaciji¶

V totalni Lagrangeevi formulaciji se začetna konfiguracija \(\Omega_0\) uporablja kot referenčna konfiguracija, notranje virtualno delo pa se z drugo Piola-Kirchhoffovo napetostjo \(\boldsymbol{S}\) in Green-Lagrangeevo deformacijo \(\boldsymbol{E}\) zapiše kot

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variacija \(\delta \boldsymbol{E}\) se razdeli na člen, linearen v virtualnem pomiku, in nelinearni člen, ki vsebuje produkte s trenutnim gradientom pomika \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Linearni člen se z uporabo enakega pravila razporeditve kot v formulaciji UL na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) zapiše z vozliščnim blokom \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Zaradi drugačne referenčne konfiguracije se sestavni odvodi spremenijo le iz \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) v \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); uporablja se isti simbol kot v formulaciji UL. Nelinearni člen uporablja produkte trenutnega gradienta pomika \(\partial u_k/\partial X_j\) in \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), razporejene po Voigtovi konvenciji v vozliščni blok \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Tako je \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) pa je matrika deformacija-pomik za formulacijo TL. Z vstavitvijo v notranje virtualno delo dobimo

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Vozliščni blok \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) je notranja sila elementa \(\Omega^e_0\), ki deluje na sestavno vozlišče \(\alpha\).

Ujemanje UL/TL in računski potek¶

Vektorja notranjih sil elementa v posodobljeni in totalni Lagrangeevi formulaciji se ujemata na naslednji način.

Postavka	Posodobljena Lagrangeeva formulacija	Totalna Lagrangeeva formulacija
Referenčna konfiguracija	Trenutna konfiguracija \({}^{t}\Omega^e\)	Začetna konfiguracija \(\Omega^e_0\)
Tenzor napetosti	Cauchyjeva napetost \(\boldsymbol{\sigma}\)	Druga PK-napetost \(\boldsymbol{S}\)
Variacija deformacije	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matrika B	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Notranja sila elementa	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Obe se obdelata po istem postopku: iz prostorskih odvodov oblikovnih funkcij se sestavi \(\boldsymbol{B}_L\); pri formulaciji TL se iz trenutnega gradienta pomika sestavi in prišteje \(\boldsymbol{B}_{NL}\); napetost (\(\boldsymbol{\sigma}\) ali \(\boldsymbol{S}\)) se posodobi po konstitutivnem zakonu; nato se \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) oziroma \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) numerično integrira po domeni elementa v integracijskih točkah (Numerična integracija). Razen preklopa referenčne konfiguracije (koordinate vozlišč in konstrukcija matrike \(\boldsymbol{B}\)) ter zamenjave tenzorja napetosti je obdelava skupna, zato FrontISTR izračune notranjih sil obeh formulacij izvaja s skupnimi podprogrami. Sestavljanje vektorjev notranjih sil elementa \(\boldsymbol{q}^e\) in \(\boldsymbol{Q}^e\) v globalni vektor notranjih sil je obravnavano v Zunanjem virtualnem delu in sestavljanju globalnih enačb.

Sorodne teme¶

Načelo virtualnega dela — izhodiščna enačba
Okvir prirastne analize — definicija vej TL/UL
Prostorski odvodi oblikovnih funkcij — komponente matrike B
Zunanje virtualno delo in sestavljanje globalnih enačb — do globalnega vektorja notranjih sil
Tangentna matrika togosti — linearizacija s časovnim odvodom notranje sile
Seznam simbolov za fizikalne veličine