Skoči na vsebino

Prostorski odvodi oblikovnih funkcij

Oblikovne funkcije \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), uvedene v Oblikovnih funkcijah in aproksimaciji z metodo končnih elementov, so podane kot funkcije naravnih koordinat \(\boldsymbol{r}\), ki so lokalne koordinate elementa. Po drugi strani integrandi šibke oblike prek zveze med deformacijo in pomikom vsebujejo parcialne odvode po fizikalnih koordinatah (referenčni konfiguraciji \(\boldsymbol{X}\) ali trenutni konfiguraciji \(\boldsymbol{x}\)), torej \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ali \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Ta razdelek ureja postopek izračuna teh prostorskih odvodov oblikovnih funkcij iz vozliščnih koordinat elementa in odvodov po naravnih koordinatah.

Izraz prostorskih odvodov z verižnim pravilom

Uporaba verižnega pravila na interpolacijski formuli \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (prejšnji razdelek) in uporaba Jacobijeve matrike \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) preslikave iz naravnih v fizikalne koordinate da

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Pri tem sta \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) in \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matriki, v katerih vrstica \(\alpha\) predstavlja vektor parcialnih odvodov za vozlišče \(\alpha\); vsaka je matrika velikosti \(n_e \times 3\).

Sestava Jacobijeve matrike

Odvajanje interpolacijske formule po \(\boldsymbol{r}\) da

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Jacobijevo matriko je torej mogoče sestaviti neposredno iz vozliščnih koordinat elementa \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) in odvodov po naravnih koordinatah \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Odvodi po naravnih koordinatah so določeni s funkcijsko obliko oblikovnih funkcij in so vnaprej implementirani za vsako vrsto elementa.

Determinanta Jacobijeve matrike \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) se pri numerični integraciji uporablja za transformacijo prostorninskega elementa kot \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Če determinanta postane \(0\), je element degeneriran in izračun ne uspe.

Računski potek

Iz zgornje izpeljave je mogoče izračun prostorskih odvodov \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) razdeliti na naslednje štiri stopnje.

  1. Izračun odvodov po naravnih koordinatah: Iz vrste elementa in naravnih koordinat \(\boldsymbol{r}\) ocenjevalne točke kot vhoda izračunajte matriko odvodov po naravnih koordinatah \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Ker se funkcijska oblika oblikovnih funkcij razlikuje glede na vrsto elementa, se obdelava razveji po vrsti elementa.
  2. Izračun Jacobijeve matrike: Iz vozliščnih koordinat elementa \(\boldsymbol{X}^e\) in \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sestavite Jacobijevo matriko \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) z enačbo iz prejšnjega razdelka.
  3. Izračun inverzne matrike in determinante: Izračunajte inverz \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) in determinanto Jacobijeve matrike. Determinanta se uporablja pri uteževanju v numerični integraciji.
  4. Izračun prostorskih odvodov: Iz \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) in \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) dobite prostorske odvode \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) kot njun produkt.

Te štiri stopnje se razvejijo glede na vrsto elementa in prostorsko dimenzijo (dve ali tri dimenzije), vendar je splošni potek enak.

Enotna obravnava referenčne in trenutne konfiguracije

Zgornji postopek je mogoče uporabiti tudi tako, da \(\boldsymbol{X}^e\) preprosto zamenjamo s trenutnimi vozliščnimi koordinatami \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) in tako dobimo prostorske odvode \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) v trenutni konfiguraciji. Zato je mogoče isti postopek uporabiti za formulaciji Total Lagrangian in Updated Lagrangian, pri čemer se zamenjajo samo vhodne vozliščne koordinate.

Sorodne teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status