Oblikovne funkcije in aproksimacija z metodo končnih elementov¶

Za računalniško obravnavo šibke oblike načela virtualnega dela se področje telesa razdeli na končno število elementov, koordinate materialnih točk, pomik in testna funkcija znotraj posameznega elementa pa se interpolirajo iz vozliščnih vrednosti in oblikovnih funkcij. Prostorski odvodi oblikovnih funkcij so obravnavani v Prostorskih odvodih oblikovnih funkcij, diskretizacija šibke oblike v Diskretizaciji notranjega virtualnega dela, konkretne oblike oblikovnih funkcij za posamezne vrste elementov pa v Sistemu oštevilčenja elementov in knjižnici oblikovnih funkcij in naslednjih razdelkih.

Razdelitev področja in vsote integralov po elementih¶

Področje \(\Omega_0\) v referenčni konfiguraciji in področje \(\Omega\) v trenutni konfiguraciji se aproksimirata z unijama elementov \(\Omega^e_0\) oziroma \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) je številka elementa, meje elementov pa si sosednji elementi delijo.) S tem se prostorninski in površinski integrali v načelu virtualnega dela razstavijo na vsote integralov po posameznih elementih:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Enako velja za trenutno konfiguracijo, če \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) in \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) V nadaljevanju se vrednotenje šibke oblike skrči na sestavljanje integralov po posameznih elementih.

Interpolacija z vozliščnimi vrednostmi in oblikovnimi funkcijami (izoparametrični elementi)¶

Vsakemu elementu \(\Omega^e_0\) je dodeljenih \(n_e\) vozlišč. Naj bodo koordinate v referenčni konfiguraciji in vozliščni pomiki vozlišča elementa \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) označeni z \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Vektorja vozlišč elementa \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) in \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) nastaneta z razporeditvijo teh vrednosti; za element \(e\) vsebujeta samo komponente vozlišč, ki sestavljajo element, izločene iz globalnih vozliščnih vektorjev \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) je skupno število vozlišč).

Z uporabo naravnih koordinat \(\boldsymbol{r}\), ki so lokalne koordinate znotraj elementa, kot parametrov oblikovne funkcije \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolirajo materialne koordinate, pomik in testno funkcijo znotraj elementa z istimi oblikovnimi funkcijami (izoparametrični element in Galerkinova metoda):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Oblikovne funkcije so zgrajene tako, da izpolnjujejo naslednji dve lastnosti, geometrija elementa pa je izbrana tako, da je preslikava \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) iz naravnih v materialne koordinate znotraj elementa enolična:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) je točka v naravnih koordinatah, ki ustreza vozlišču \(\alpha\), \(\delta_{\alpha\beta}\) pa je Kroneckerjeva delta.) Prva enačba zagotavlja reprodukcijo togega translacijskega pomika, druga pa, da se interpolirana vrednost v vsakem vozlišču ujema z vozliščno vrednostjo. Konkretne oblike \(n_e\) in \(N_\alpha^e\) za posamezne vrste elementov so podane v Sistemu oštevilčenja elementov in knjižnici oblikovnih funkcij in naslednjih razdelkih. Zaradi preglednosti zapisa je odvisnost od vrste elementa označena z nadpisom \(e\) po elementih.

Z zgornjimi pravili interpolacije je mogoče integrand šibke oblike izraziti samo z vozliščnimi vrednostmi elementa \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) in \(N_\alpha^e\). Deformacija se nasprotno izpelje iz interpoliranega pomika in zveze med deformacijo in pomikom, napetost pa iz te deformacije in konstitutivnega zakona materiala; te veličine se ne interpolirajo neposredno iz vozliščnih vrednosti. Vrednotijo se v integracijskih točkah znotraj elementa (Numerična integracija).

Pravilo razvrščanja globalnih vozliščnih vektorjev¶

Fizikalne veličine, dodeljene vozliščem, so v globalnem vozliščnem vektorju razporejene po naraščajočem vrstnem redu številka vozlišča → prostostna stopnja. Če komponento prostostne stopnje \(i\) v vozlišču \(\alpha\) označimo z \(u_{i\alpha}\), potem v treh dimenzijah (\(i=1,2,3\)) oziroma dveh dimenzijah (\(i=1,2\)) velja

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinate \(\boldsymbol{X}^n\) in testna funkcija \(\delta\boldsymbol{u}^n\) uporabljajo enak vrstni red. V nadaljevanju so matrične in vektorske izpeljave zapisane na reprezentativnem tridimenzionalnem primeru.

Sorodne teme¶

Načelo virtualnega dela — Šibka oblika, ki jo diskretiziramo
Prostorski odvodi oblikovnih funkcij — Priprava Jacobijeve matrike in matrike B
Sistem oštevilčenja elementov in knjižnica oblikovnih funkcij — Oblikovne funkcije za posamezne vrste elementov