Lezenje¶

To poglavje obravnava konstitutivni zakon lezenja, ki ga uporablja FrontISTR. Za podrobnosti o izbiri in določitvi vhodnih podatkov glejte referenco funkcij 03_material.

Pojav lezenja in aditivni razcep deformacije¶

Časovno odvisen pomik pri konstantni napetosti je pojav, imenovan »lezenje«.

Tudi prej opisano viskoelastično vedenje je mogoče obravnavati kot vrsto linearnega lezenja. Tukaj je opisanih več nelinearnih pojavov lezenja. Običajno se konstitutivni zakon oblikuje tako, da se ta pojav prišteje deformaciji, ki nastane hipno, deformacija, ki se nabira med trajanjem določene konstantne obremenitve, pa se opredeli kot deformacija zaradi lezenja \(\varepsilon^c\). Konstitutivni zakon z upoštevanjem lezenja se običajno izraža s hitrostjo deformacije zaradi lezenja \(\dot{\varepsilon}^c\), definirano kot funkcija napetosti in skupne deformacije zaradi lezenja.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Če je hipno nastala deformacija elastična deformacija \(\varepsilon^e\), je skupna deformacija izražena kot naslednja vsota z deformacijo zaradi lezenja.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

kjer je

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) je tenzor elastičnosti).

Nortonov zakon¶

Kot konkretni konstitutivni zakon lezenja FrontISTR uporablja naslednji Nortonov model. V tem konstitutivnem zakonu je ekvivalentna hitrost deformacije zaradi lezenja \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) izražena kot funkcija Misesove napetosti \(q\) in časa \(t\):

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

kjer so \(A\), \(m\) in \(n\) materialne konstante.

Časovna integracija in posodobitev napetosti¶

Tako kot pri plastičnih materialih je treba tudi za konstitutivni zakon z lezenjem določiti numerično metodo časovne integracije. Konstitutivni zakon z upoštevanjem lezenja je

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

kjer je \(\beta_{n+\theta}\)

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Prirastek deformacije zaradi lezenja \(\Delta \varepsilon^c\) se nato določi z naslednjo poenostavljeno nelinearno enačbo

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

Pri Newton-Raphsonovi iteraciji, kjer se kot začetna vrednost uporabi \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) in prirastek deformacije, dobljen z metodo končnih elementov, sta iterativna rešitev in prirastek podana z

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

kjer je

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

. Pri iteriranju, dokler rezidual \(R\) ne postane \(\mathbf{0}\), se uporabita napetost \(\sigma_{n+1}\) in tangentni modul

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Sorodne postavke¶

Viskoelastičnost — viskoelastično vedenje, ki ustreza linearnemu lezenju
Tangentna matrika togosti — tangentna togost pri inkrementni analizi z lezenjem
Podatki o materialu (funkcija) — določitev parametrov Nortonovega modela