Elastoplastičnost¶

To poglavje opisuje okvir elastoplastičnega konstitutivnega zakona, ki ga uporablja FrontISTR. Za podrobnosti o izbiri in določitvi vhodnih podatkov glejte 03_material v referenci funkcij.

Pojav (plastična deformacija)¶

TBD (besedilo bo napisano v naslednji fazi).

Okvir konstitutivnega zakona¶

FrontISTR uporablja elastoplastično konstitutivno enačbo, ki temelji na asociiranem pravilu tečenja. Konstitutivna enačba izraža zvezo med Jaumannovo hitrostjo Kirchhoffove napetosti in tenzorjem hitrosti deformacije, pri analizi deformacije pa se uporablja formulacija Updated Lagrange.

Predpostavimo, da je pogoj tečenja elastoplastičnega materiala podan takole.

Začetni pogoj tečenja:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Nadaljnji pogoj tečenja:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

kjer so

\(F\): funkcija tečenja
\(\sigma_{y_0}\): začetna meja tečenja
\(\sigma_y\): nadaljnja meja tečenja
\(\sigma\): tenzor napetosti
\(e\): tenzor infinitezimalne deformacije
\(e^p\): tenzor plastične deformacije
\(\overline{e}^p\): ekvivalentna plastična deformacija

Predpostavlja se, da zveza med mejo tečenja in ekvivalentno plastično deformacijo sovpada z zvezo med napetostjo in plastično deformacijo v enoosnem stanju.

Zveza med napetostjo in plastično deformacijo v enoosnem stanju

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

kjer je \(H'\) modul deformacijskega utrjevanja.

Zveza med ekvivalentno napetostjo in ekvivalentno plastično deformacijo

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Na splošno je nadaljnja funkcija tečenja funkcija temperature in dela plastične deformacije, vendar se tukaj zaradi poenostavitve predpostavlja, da je funkcija samo ekvivalentne plastične deformacije \(\overline{e}^p\). Med napredovanjem plastične deformacije mora še naprej veljati \(F = 0\), zato mora biti izpolnjena naslednja enačba.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Tukaj \(\dot{F}\) pomeni časovni odvod \(F\). V nadaljevanju časovni odvod količine \(A\) označujemo z \(\dot{A}\).

Predpostavimo obstoj plastičnega potenciala \(\Theta\) in hitrost plastične deformacije izrazimo z naslednjo enačbo.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Tukaj je \(\dot{\lambda}\) koeficient.

Če dodatno predpostavimo, da je plastični potencial \(\Theta\) enak funkciji tečenja \(F\), uporabimo naslednje asociirano pravilo tečenja.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Z vstavljanjem te enačbe v pogoj konsistentnosti dobimo

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

kjer je \(D\) matrika elastičnosti in

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastično zvezo med napetostjo in deformacijo lahko zapišemo takole.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Ko je funkcija tečenja \(F\) elastoplastičnega materiala znana, iz tega izraza dobimo njegov konstitutivni zakon.

Funkcije tečenja¶

Spodaj so navedene elastoplastične funkcije tečenja, ki jih uporablja FrontISTR.

Von Misesova funkcija tečenja¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Tukaj je \(J_2\) druga invarianta deviatorskega tenzorja napetosti.

Mohr-Coulombova funkcija tečenja¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Tukaj sta \(\sigma_1, \sigma_3\) največja in najmanjša glavna napetost, \(c\) je kohezija, \(\phi\) pa kot notranjega trenja.

Drucker-Pragerjeva funkcija tečenja¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Materialni konstanti \(\alpha\) in \(\sigma_y\) se iz kohezije materiala in kota trenja izračunata takole.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Sorodne postavke¶

Linearna elastičnost — elastični odziv (elastični del elastoplastičnosti)
Tangentna matrika togosti — tangentna togost pri inkrementni analizi z materialno nelinearnostjo
Podatki o materialu (funkcija) — možnosti in izbira funkcij tečenja ter zakonov utrjevanja