Skoči na vsebino

Linearna elastičnost

To poglavje obravnava konstitutivni zakon (Hookeov zakon) za linearno elastične materiale. Podrobnosti o izbiri modela in specifikacijah vnosa so navedene v razdelku funkcij 03_material.

Pojav (linearno elastični odziv)

Linearno elastično telo je material, ki pri dovolj majhnih deformacijah pod obremenitvijo kaže linearno zvezo med napetostjo in deformacijo ter reverzibilen odziv, neodvisen od zgodovine, pri katerem se po razbremenitvi vsa deformacija povrne v začetno stanje. Za razliko od plastičnosti ali lezenja nima notranjih spremenljivk, ki bi predstavljale stanje (na primer plastične ali viskozne deformacije), napetost pa je enolično določena samo s trenutno deformacijo.

V območju majhnih deformacij se uporabljata Cauchyjeva napetost \(\boldsymbol{\sigma}\) in infinitezimalna deformacija \(\boldsymbol{\varepsilon}\); v območju končnih deformacij (problemi z velikimi rotacijami, pri katerih je sama deformacija majhna) pa druga Piola-Kirchhoffova napetost \(\boldsymbol{S}\) in Green-Lagrangeeva deformacija \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoffov material).

Konstitutivni zakon

Izotropni linearno elastični material

V območju majhnih deformacij je izotropni Hookeov zakon z Laméjevima konstantama \(\lambda, \mu\) izražen kot

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

V komponentni obliki,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

dvojna kontrakcija z deformacijo pa daje \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Laméjevi konstanti sta z Youngovim modulom \(E\) in Poissonovim razmerjem \(\nu\) povezani na naslednji način:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

V Voigtovem zapisu je zveza med vektorjem deformacij \(\hat{\varepsilon}\) in vektorjem napetosti \(\hat{\sigma}\) zapisana kot \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), tridimenzionalna materialna matrika \(D\) pa je

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Ta matrična predstavitev se uporablja v implementaciji.

Ortotropni linearno elastični material

Za materiale, pri katerih se elastične konstante razlikujejo glede na smer glavnih osi, se uporablja ortotropni model z devetimi neodvisnimi konstantami: Youngovimi moduli v smereh glavnih osi \(E_1, E_2, E_3\), Poissonovimi razmerji med glavnimi osmi \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) in strižnimi moduli \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Za eksplicitno obliko matrike \(D\) glejte standardno literaturo.

Območje končnih deformacij: St.Venant-Kirchhoffov material

Za probleme z velikimi rotacijami, pri katerih je sama deformacija majhna, se uporablja St.Venant-Kirchhoffov material kot linearno elastični zakon, ki povezuje drugo Piola-Kirchhoffovo napetost \(\boldsymbol{S}\) in Green-Lagrangeevo deformacijo \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definiciji Laméjevih konstant \(\lambda, \mu\) sta enaki kot pri majhnih deformacijah. Ker pa se definiciji para napetost–deformacija razlikujeta, gre za drug konstitutivni zakon kot Hookeov zakon za majhne deformacije.

Hipoelastični material

Pri posodobljeni Lagrangeevi metodi se uporablja hipoelastični material, ki uporablja linearno elastični zakon med Jaumannovo hitrostjo relativnega Kirchhoffovega tenzorja napetosti \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) in tenzorjem hitrosti deformacije \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Tudi tu je definicija \(\boldsymbol{C}\) z Laméjevima konstantama enaka kot zgoraj, vendar gre zaradi drugačnega para napetost–deformacija za drug konstitutivni zakon. Podrobnosti o posodabljanju \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) s postopkom časovne integracije (Eulerjeva integracija naprej in aproksimacija s centralnimi razlikami) so navedene v tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Redukcija za dvodimenzionalno analizo in lupinske elemente

Ravninsko napetostno stanje (\(\sigma_{33} = 0\))

Za ravninsko napetostno stanje, ki predstavlja obremenitev tankih plošč in lupin, se predpostavi \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) in uporabi matrika \(D\), v kateri je komponenta deformacije zunaj ravnine \(\varepsilon_{33}\) algebraično izločena:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ravninsko deformacijsko stanje (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Za ravninsko deformacijsko stanje, ki predstavlja prerez dolge konstrukcije, omejene v smeri debeline, se predpostavi \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Osnosimetrično

Pri osnosimetrični analizi, ki obravnava probleme, enakomerne v smeri \(\theta\) v valjnih koordinatah \((r, \theta, z)\), se ohranijo štiri komponente \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) in \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), pri čemer dobimo

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

.

Lupinski elementi (ravninsko napetostno stanje + prečni strig)

Pri lupinskih elementih se napetost v ravnini obravnava kot ravninsko napetostno stanje, za komponenti prečne strižne deformacije \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) pa se uporablja \(\kappa\, G\) s korekcijskim faktorjem striga \(\kappa\) (običajno \(\kappa = 5/6\)). Podrobna formulacija posameznega elementa je navedena v Naprednih formulacijah elementov. Navedba v razdelku funkcij 03_material, da »lupinski elementi podpirajo samo linearno elastičnost«, temelji na tej poenostavitvi obravnave stanja v ravnini kot ravninskega napetostnega stanja.

Temperaturna odvisnost

Youngov modul \(E\), Poissonovo razmerje \(\nu\) in koeficient linearnega raztezanja \(\alpha\) so praviloma podani kot funkcije temperature \(T\). V FrontISTR se vrednosti vnesejo za končno zaporedje temperaturnih točk \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), temperatura \(T\) med izračunom pa se ovrednoti z linearno interpolacijo med sosednjimi točkami. Za temperature zunaj območja (\(T < T_1\) ali \(T > T_n\)) se za ekstrapolacijo uporabi vrednost na najbližji končni točki \(T_1\) oziroma \(T_n\) (konstantna ekstrapolacija).

Za temperaturno odvisnost toplotnih lastnosti in lastnosti prevoda toplote (gostota, specifična toplota in toplotna prevodnost) glejte Toplotne lastnosti. Pravila interpolacije so za te lastnosti skupna.

Sorodne teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status