Skoči na vsebino

Linearna elastična statična analiza (uvod)

Ta razdelek predstavlja formulacijo elastične statične analize na osnovi teorije neskončno majhnih deformacij. Za zvezo med napetostjo in deformacijo je predpostavljena linearna elastičnost. To poglavje je namenjeno kot uvod v razumevanje celotne zgradbe strukturne analize z metodo končnih elementov in je urejeno kot samostojno poglavje.

Za splošno teorijo načela virtualnega dela (oblika v trenutni konfiguraciji, oblika v začetni konfiguraciji in redukcija na neskončno majhne deformacije) glejte Načelo virtualnega dela; za podrobnosti linearno elastičnega konstitutivnega zakona glejte Linearna elastičnost; za dogovore tenzorskega in Voigtovega zapisa glejte Tenzorski zapis in matematične osnove; za splošno formulacijo končnih deformacij glejte Gibanje, deformacija in mera deformacije; za metode reševanja nelinearnih problemov pa Tangentna matrika togosti.

Osnovne enačbe

Ob predpostavkah neskončno majhnih deformacij in linearne elastičnosti robni problem mehanike trdnin sestavljajo ravnotežna enačba, mehanski robni pogoji in geometrijski robni pogoji (bistveni robni pogoji) (glejte sliko 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{v} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{na} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{na} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Pri tem je \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyjeva napetost, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) prostorninska sila na enoto prostornine, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) predpisana površinska obtežba, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) predpisani pomik, \(S_t, S_u\) pa sta mehanska in geometrijska meja.

Robni problem mehanike trdnin (problem neskončno majhnih deformacij)

Slika 2.1.1 Robni problem mehanike trdnin (problem neskončno majhnih deformacij)

Z uporabo simetričnega gradientnega operatorja je zveza med deformacijo in pomikom

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Linearno elastična konstitutivna enačba je

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

kjer je \(\boldsymbol{C}\) elastičnostni tenzor četrtega reda.

Načelo virtualnega dela

Splošne oblike načela virtualnega dela (oblika v trenutni konfiguraciji, oblika v začetni konfiguraciji in redukcija na neskončno majhne deformacije) so povzete v Načelu virtualnega dela. Ob predpostavkah neskončno majhnih deformacij in linearne elastičnosti je šibka oblika

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{na} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Če vstavimo konstitutivno enačbo \eqref{eq:2.1.5} in v Voigtovem zapisu zapišemo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), dobimo obliko, ki se uporablja neposredno za diskretizacijo:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

kjer je \(D\) elastična matrika, definirana v Linearni elastičnosti. Enačbi \eqref{eq:2.1.10} in \eqref{eq:2.1.7} sestavljata spodaj diskretizirano načelo virtualnega dela.

Diskretizacija in sestavljanje globalne enačbe

Diskretizacija načela virtualnega dela v enačbi \( \eqref{eq:2.1.10} \) po končnih elementih da

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Za vsak element se polje pomikov interpolira s pomiki vozlišč, ki sestavljajo element, kot sledi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Deformacija je nato z uporabo enačbe \(\eqref{eq:2.1.4}\) podana kot sledi.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Če enačbi \(\eqref{eq:2.1.12}\) in \(\eqref{eq:2.1.13}\) vstavimo v enačbo \(\eqref{eq:2.1.11}\), dobimo

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Enačbo \(\eqref{eq:2.1.14}\) lahko zapišemo kot

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Pri tem je mogoče komponente matrike in vektorja, definirane z enačbama \(\eqref{eq:2.1.16}\) in \(\eqref{eq:2.1.17}\), izračunati za vsak končni element in jih sestaviti s superpozicijo.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Ker enačba \(\eqref{eq:2.1.15}\) velja za poljuben virtualni pomik \(\delta \boldsymbol{U}\), dobimo naslednjo enačbo.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Robni pogoj pomika iz enačbe \(\eqref{eq:2.1.3}\) pa je izražen kot sledi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Z rešitvijo enačbe \(\eqref{eq:2.1.18}\) ob omejitvenem pogoju iz enačbe \(\eqref{eq:2.1.19}\) lahko določimo vozliščni pomik \(\boldsymbol{U}\).

Glejte tudi

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status