Nelinearna iteracija in časovna integracija¶

FrontISTR napreduje z rešitvijo tako, da v vsakem podkoraku znotraj nadzora prirastkov posameznega koraka združuje nelinearne iteracije in časovno integracijo. Na tej strani so opisane iterativne strukture med zunanjim nadzorom korakov in notranjim linearnim reševalnikom: Newton-Raphsonove iteracije, kontaktne iteracije, časovna integracija za dinamično analizo ter ogrodje za napredovanje časa in nelinearno iteracijo pri nestacionarnem prevajanju toplote.

Pregled¶

Nelinearno reševanje in časovna integracija znotraj koraka imata ugnezdeno strukturo iz več zank od zunanje proti notranji. Vsaka plast ima naslednjo vlogo.

Katere od teh plasti se pojavijo, je odvisno od vrste analize.

Za izbiro same vrste kontakta in algoritma glejte Kontakt in vgrajevanje. Na tej strani je opisano, kako je izbrani algoritem organiziran kot iterativna zanka.

Izbira sheme reševanja¶

Iterativna struktura se samodejno določi iz izbrane vrste analize (Vrste analiz), prisotnosti ali odsotnosti nelinearnosti (geometrijska nelinearnost, materialna nelinearnost ali kontakt) in kontaktnega algoritma (SLAGRANGE ali ALAGRANGE). Uporabnik neposredno nastavlja zgornje meje števila iteracij in konvergenčne kriterije.

Pri prilagajanju teh nastavitev veljajo naslednje smernice.

• Pri standardnih analizah je privzeta zgornja meja števila iteracij praviloma zadostna. Če težko konvergenten problem doseže največje število iteracij brez konvergence, najprej uporabite cutback (Nadzor korakov); zgornjo mejo povečajte le, če to ne izboljša konvergence.
• Konvergenčne kriterije prilagodite tako, da uravnotežite stabilnost analize in čas računanja. Strožji kriteriji izboljšajo natančnost ravnotežja, vendar povečajo število iteracij. Pri kontaktnih analizah in analizah z Lagrangeevimi množitelji lahko kombinacija kriterija prirastka pomika ali Lagrangeevega kriterija z rezidualnim kriterijem izboljša stabilnost.
• Pri parametrih časovne integracije dinamične analize (koeficientih Newmark-β) začnite s standardno kombinacijo vrednosti in jih prilagodite, kadar želite spremeniti značilnosti numeričnega dušenja vibracijskega odziva.
• Pri shemi časovne integracije nestacionarnega prevajanja toplote uporabite Crank-Nicolson za probleme z gladkimi temperaturnimi spremembami, povratni Euler pa, kadar so pomembnejše ostre spremembe ali dolgoročna stabilnost.

Newton-Raphsonova iteracija v statični analizi¶

Pri nelinearni statični analizi se ravnotežne enačbe, ki vsebujejo geometrijsko ali materialno nelinearnost, rešujejo iterativno z Newton-Raphsonovo metodo. Vsaka iteracija poteka takole.

1. Pri trenutni rešitvi ovrednotite rezidualni vektor \(\boldsymbol{R}\).
2. Sestavite tangentno matriko togosti \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Rešite linearni sistem \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) in določite popravek pomika \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Posodobite rešitev kot \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Primerjajte s konvergenčnimi kriteriji. Če je konvergenca dosežena, iteracijo končajte; sicer se vrnite na 1. korak.

Linearni reševalnik izvede rešitev linearnega sistema (3. korak). Za izbiro reševalnika in predpogojevalnika glejte Reševalnik in predpogojevanje.

Iteracija se krmili s parametri nadzora korakov !STEP. Glavne krmilne vrednosti so naslednje.

Največje število Newtonovih iteracij, na katero se sklicujejo odločitve samodejnega prirastka in cutback v Nadzoru korakov, pomeni število Newtonovih iteracij, opisanih na tej strani. Samodejni nadzor prirastka poveča časovni prirastek po podkoraku, ki je konvergiral v malo iteracijah, in ga zmanjša po podkoraku, ki je zahteval veliko iteracij.

Kontaktna iteracija v statični analizi¶

Pri kontaktni analizi se kontaktno stanje med iteracijo spreminja zaradi kontakta, ločitve in drsenja kontaktnih površin, zato je Newtonova iteracija združena s posodabljanjem kontaktnega stanja. Struktura je odvisna od algoritma reševanja kontakta.

Oba algoritma postavita zanko iskanja kontaktnega stanja na najbolj zunanjo raven. Pri vsakem prehodu skozi to zanko se po konvergenci notranje Newtonove iteracije ponovno ovrednoti kontaktno stanje (kontakt/ločitev). Če se stanje spremeni, se posodobi struktura matrike togosti in notranja iteracija se izvede znova. Zanka se konča, ko je kontaktno stanje nespremenjeno glede na prejšnji prehod in so izpolnjeni konvergenčni kriteriji kontakta (kriterij kontaktne sile in Lagrangeevega množitelja). Zgornjo mejo števila prehodov določa MAXCONTITER v !STEP.

Pri kontaktu SLAGRANGE so kontaktne prostostne stopnje vključene v linearni sistem s standardno metodo Lagrangeevega množitelja, zato nastane dvoplastna struktura, v kateri je Newtonova iteracija neposredno znotraj zanke iskanja kontaktnega stanja. Iteracije razširjenega Lagrangea ni.

Pri kontaktu ALAGRANGE je znotraj zanke iskanja kontaktnega stanja dodana iteracija razširjenega Lagrangea, znotraj nje pa se izvaja Newtonova iteracija, zato nastane triplastna struktura. Pri vsaki iteraciji razširjenega Lagrangea se kontaktna omejitev ponovno ovrednoti s kombinacijo kazenskega člena in Lagrangeevega množitelja, s čimer se natančnost omejitve postopoma izboljšuje. Zgornjo mejo števila iteracij razširjenega Lagrangea določa AUGITER v !CONTACT_ALGO.

Krmilne vrednosti kontaktne iteracije so naslednje.

Število kontaktnih iteracij, na katero se sklicujejo odločitve samodejnega prirastka v Nadzoru korakov, pomeni število iteracij, opisanih na tej strani, vključno s posodobitvami kontaktnega stanja. Analize, pri katerih se kontakt in ločitev pojavljata pogosto, praviloma zahtevajo več kontaktnih iteracij, kar vpliva tudi na odločitve samodejnega prirastka in cutback. Za vrste kontakta, definicije parov in izbiro algoritma glejte Kontakt in vgrajevanje. Za reševanje linearnega sistema, ki vsebuje kontaktne prostostne stopnje, glejte Reševalnik in predpogojevanje.

Časovna integracija v dinamični analizi (implicitna metoda)¶

Implicitna metoda dinamične analize uporablja metodo Newmark-β za povezavo pomika, hitrosti in pospeška v naslednjem času pri vsakem časovnem koraku ter te relacije združi z gibalno enačbo, da določi stanje v času \(t + \Delta t\). Omejitev stabilnosti za časovni korak \(\Delta t\) je blaga, zato je mogoče učinkovito reševati konstrukcijske odzive, v katerih prevladujejo nizkofrekvenčne komponente.

Uporabljata se naslednja parametra časovne integracije.

Kombinacija \(\beta = 1/4\) in \(\gamma = 1/2\) se imenuje metoda povprečnega pospeška in je standardna izbira, ki je brezpogojno stabilna ter nima numeričnega dušenja. Za uvedbo numeričnega dušenja izberite \(\gamma\) večji od \(1/2\). Matematične podrobnosti kombinacij parametrov, stabilnosti in značilnosti napake so navedene v teoretičnem priročniku.

Ko je vključena nelinearnost (geometrijska nelinearnost, materialna nelinearnost ali kontakt), se znotraj vsakega časovnega koraka izvede Newtonova iteracija; znotraj iteracije se reši linearni sistem in posodobi stanje. Konvergenčni kriteriji uporabljajo CONVERG in povezane vrednosti, skupne s statično analizo. Pri dinamični analizi s kontaktom je v vsak časovni korak vključena enaka iterativna struktura kot pri Kontaktni iteraciji v statični analizi.

Časovni korak pri dinamični analizi se primarno krmili s časovnimi pogoji !STEP. Pri fiksnih prirastkih !STEP določa DTIME kot časovni korak in ETIME kot trajanje koraka. Vrednosti n_step in t_delta iz !DYNAMIC se obravnavajo kot privzete, kadar je !STEP izpuščen, in zaradi združljivosti za nazaj. Pri nelinearni implicitni metodi !STEP z INC_TYPE=AUTO omogoči samodejne prirastke in cutback ter povečuje ali zmanjšuje časovni korak glede na stanje Newtonovih in kontaktnih iteracij. Ne glede na uporabo fiksnih ali samodejnih prirastkov nastavite časovni korak ob upoštevanju konvergence in zahtevane natančnosti.

Časovna integracija v dinamični analizi (eksplicitna metoda)¶

Eksplicitna metoda dinamične analize uporablja metodo centralnih diferenc, s katero se stanje v naslednjem času izračuna neposredno samo iz informacij o pomiku, hitrosti in pospešku v prejšnjem času. Ker se sistem simultanih enačb ne rešuje, je računski strošek posameznega koraka majhen. Tudi ob vključeni nelinearnosti je vsak časovni korak enostopenjska posodobitev brez Newtonove iteracije.

Časovni korak ima zgornjo mejo, ki jo določa stabilnostni pogoj na podlagi najmanjše lastne periode sistema (pogoj CFL). Časovni korak nad to mejo povzroči divergenco numerične rešitve, zato velikih časovnih korakov, kot so mogoči pri implicitni metodi, ni mogoče uporabljati. Eksplicitna metoda je ugodna za pojave, kot so udarci, širjenje valov in hitri kontakt, pri katerih so majhni časovni koraki že sami po sebi potrebni.

Ko je vključen kontakt, se za uveljavljanje kontaktnih omejitev uporablja metoda Forward Increment Lagrange. Kontaktne sile se ovrednotijo skladno z enostopenjsko posodobitvijo eksplicitne metode.

Metoda reševanja analize frekvenčnega odziva¶

Analiza frekvenčnega odziva neposredno določi periodični stacionarni odziv v frekvenčni domeni z metodo modalne superpozicije. Odziv ovrednoti pri spreminjanju vzbujevalne frekvence in mu ni treba slediti skozi časovno zgodovino z iteracijami. Niti nelinearne iteracije niti časovna integracija se ne izvajajo.

Pred izvedbo analize frekvenčnega odziva je treba za isti sistem izvesti modalno analizo in izločiti zahtevano število lastnih načinov. Podprti so samo linearni modeli; analize ni mogoče izvesti, če je omogočena geometrijska ali materialna nelinearnost. Za umestitev te vrste analize glejte Vrste analiz.

Napredovanje časa in nelinearna iteracija pri nestacionarnem prevajanju toplote¶

Nestacionarno prevajanje toplote ima lastno časovno zanko, ki se v celoti izvaja znotraj !HEAT. Časovni korak se krmili po poti, ločeni od !STEP in !AUTOINC_PARAM strukturne analize, kadar pa so lastnosti materiala odvisne od temperature, se znotraj vsakega časovnega koraka izvede nelinearna iteracija.

Shema časovne integracije se izbere s parametrom \(\beta\) v !HEAT.

Časovni korak se prilagodljivo krmili s kombinacijo začetnega časovnega koraka, najmanjšega časovnega koraka in največje temperaturne spremembe na korak. Če temperaturna sprememba po izračunu časovnega koraka preseže DELTMX, se časovni korak zmanjša in korak ponovno izračuna. Analiza se prekine, če časovni korak pade pod najmanjši časovni korak DTMIN.

Ko so lastnosti materiala odvisne od temperature, se znotraj vsakega časovnega koraka izvede nelinearna iteracija. Iteracija se krmili takole.

Stacionarno prevajanje toplote ne uporablja časovnega korakanja; nelinearna iteracija se izvede samo, kadar so lastnosti materiala odvisne od temperature. Ker je časovni nadzor analize prevajanja toplote neodvisen od !STEP strukturne analize, pri prilagajanju časovnega koraka preverite nastavitve !HEAT.

Sorodne teme¶

• Vrste analiz — Umestitev posamezne vrste analize.
• Kontakt in vgrajevanje — Izbira vrst kontakta, definicij parov in algoritmov reševanja.
• Reševalnik in predpogojevanje — Reševanje linearnih simultanih enačb, klicanih znotraj Newtonove iteracije.
• Nadzor korakov — Zunanji nadzor korakov/podkorakov ter samodejni prirastki/cutback.
• Newton-Raphsonova metoda (teorija) — Formulacija iterativne metode reševanja.
• Konvergenčni kriteriji (teorija) — Matematične definicije konvergenčnih kazalnikov.
• Metode dinamične analize (teorija) — Formulacija metod Newmark-β in centralnih diferenc.
• Nestacionarna analiza prevajanja toplote (teorija) — Formulacija časovne integracije za prevajanje toplote.
• Kontaktna analiza (teorija) — Formulacija metode Lagrangeevega množitelja.
• Referenca ključnih besed: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.