Verifikácia pomocou modelu jednoduchého tvaru¶

Lineárna statická analýza¶

V tejto verifikácii sa používa konzolový nosník s konečno-prvkovou sieťou znázornenou na obrázku 9.1.1. Analýzy sa vykonali pre sedem prípadov exA až exG s rôznymi zaťažovacími podmienkami podľa obrázka 9.1.2. Prípad exG má rovnaké zaťažovacie podmienky ako exA, používa však priamy riešič.

Výsledky verifikácie jednotlivých zaťažovacích podmienok sú uvedené v tabuľkách 9.1.1 až 9.1.7.

Obr. 9.1.1 Príklad siete konzolového nosníka (hexaedrické prvky)

	(a) exA, G: Sústredené zaťaženie
	(b) exD: Gravitačné zaťaženie
	(c) exB: Plošne rozložené zaťaženie
	(d) exE: Odstredivá sila
	(e) exC: Objemové zaťaženie
	(f) exF : Tepelné zaťaženie

Nelineárna statická analýza¶

(2-1) exnl1: Geometricky nelineárna analýza¶

Verifikačný model prípadu exI je zhodný s modelmi prípadov exA až exG. Obrázok 9.1.3 znázorňuje schému verifikačného modelu. Na tomto modeli sa vykoná geometricky nelineárna analýza. Výsledky verifikácie sú uvedené v tabuľke 9.1.8.

Nelineárny výpočet používa 10 zaťažovacích krokov s prírastkom zaťaženia 0.1P až po konečné zaťaženie 1.0P.

Obr. 9.1.3 Verifikačný model

(2-2) exnl2: Analýza elastoplastickej deformácie¶

Táto verifikačná úloha vychádza z testu NL1 organizácie National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) (NAFEMS), a vykonáva analýzu elastoplastickej deformácie so zohľadnením geometrickej nelinearity a viacerých zákonov spevnenia. Obrázok 9.1.4 znázorňuje analytický model.

Obr. 9.1.4 Model analýzy elastoplastickej deformácie

(1) Verifikačné podmienky

(2) Okrajové podmienky

Všetky uzly, ktoré tu nie sú uvedené, sú úplne zafixované. Teoretické riešenie tejto úlohy je nasledovné.

Na porovnanie sú výsledky výpočtu nasledovné.

Kontaktná analýza (1)¶

Táto verifikačná úloha vychádza z kontaktnej testovacej úlohy CGS-4 organizácie National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), a overuje kontaktnú analýzu s konečným sklzom a trením. Obrázok 9.1.5 znázorňuje analytický model.

Obr. 9.1.5 Model kontaktnej analýzy

Podmienka rovnováhy pre túto úlohu je nasledovná.

Vo fáze priľnavého trenia je trecia sila [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] a vo fáze klzného trenia je [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Porovnanie výsledkov výpočtu s analytickým riešením je nasledovné.

Kontaktná analýza (2): Hertzova kontaktná úloha¶

Táto verifikácia analyzuje Hertzovu kontaktnú úlohu medzi nekonečne dlhým valcom a nekonečnou rovinou. Polomer valca je R=8mm a Youngov modul E a Poissonovo číslo µ deformovateľného telesa sú 1100Mpa a 0.0. Predpokladá sa, že kontaktná plocha je v porovnaní s polomerom valca dostatočne malá; vzhľadom na symetriu úlohy sa analyzuje model štvrtiny valca.

Obr. 9.1.6 Analytický model Hertzovej kontaktnej úlohy

(1) Výsledky verifikácie kontaktného polomeru¶

Teoretický vzťah na výpočet kontaktného polomeru je nasledovný:

kde [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Za daných výpočtových podmienok je pri tlaku \(F=100\) kontaktný polomer \(a=1.36\).

Obrázok 9.1.7 znázorňuje ekvivalentné uzlové sily v kontaktných bodoch. Kontaktný polomer sa určí extrapoláciou tohto rozdelenia uzlových síl.

Obr. 9.1.7 Rozdelenie ekvivalentných uzlových síl v kontaktných bodoch

(2) Výsledky verifikácie maximálneho šmykového napätia¶

V teoretickom riešení je v kontaktnej polohe [ z = 0.78a ] maximálne šmykové napätie [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Za daných výpočtových podmienok [ \tau_{\max} = 14.2 ] . Na porovnanie výpočet dáva [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Obr. 9.1.8 Rozdelenie šmykového napätia (maximálna hodnota = 15.6)

(3) Modálna analýza¶

Verifikačné modely prípadov exJ až exK sú zhodné s modelmi prípadov exA až exG. Obrázok 9.1.9 znázorňuje schému verifikačného modelu. Na tomto modeli sa vykoná modálna analýza. Vypočítajú sa vlastné hodnoty prvého až tretieho rádu. Prípad exJ používa iteratívny riešič, zatiaľ čo prípad exK používa priamy riešič. Výsledky verifikácie sú uvedené v tabuľkách 9.1.9 až 9.1.12.

Obr. 9.1.9 Verifikačný model

Vlastné frekvencie konzolového nosníka sa získajú z nasledujúcich rovníc.

Prvý mód [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Druhý mód [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Tretí mód [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Hodnoty vlastností verifikačného modelu sú

Vlastné hodnoty až po tretí rád sú teda nasledovné:

Poznámka: V trojrozmerných (3D) modeloch tvoria vlastné hodnoty prvého a druhého rádu násobný koreň. Hodnota druhého rádu v tabuľke preto predstavuje vypočítanú hodnotu tretieho rádu.

Poznámka: V 3D modeloch tvoria vlastné hodnoty prvého a druhého rádu násobný koreň. Hodnota druhého rádu v tabuľke preto predstavuje vypočítanú hodnotu tretieho rádu.

(4) Analýza vedenia tepla¶

Spoločné podmienky ustálených analýz vedenia tepla sú znázornené na obrázku 9.1.10. Jednotlivé podmienky verifikačných prípadov exM až exT sú znázornené na obrázku 9.1.11. Rozdelenie siete je ekvivalentné s rozdelením použitým pre exA.

Výsledky verifikácie (tabuľky rozdelenia teploty) jednotlivých prípadov sú uvedené v tabuľkách 9.1.13 až 9.1.20.

Teplotná závislosť tepelnej vodivosti

exM: Lineárny materiál
exN: Úloha so zadanou teplotou
exO: Úloha so sústredeným tepelným tokom
exP: Úloha s rozloženým tepelným tokom
exQ: Úloha s konvekčným prestupom tepla
exR: Úloha so sálavým prestupom tepla
exS: Úloha s objemovým generovaním tepla
exT: Úloha s vnútornou medzerou

Lineárna dynamická analýza¶

V prípade exW sa vykoná lineárna dynamická analýza rovnakého konzolového nosníka ako v bode (1). Obrázok 9.1.12 znázorňuje verifikačné podmienky. Pri rovnakom rozdelení siete sa overuje vplyv časového prírastku na výsledky. Používajú sa implicitná aj explicitná metóda časovej integrácie s typmi prvkov 361 a 342. Výsledky verifikácie sú uvedené v tabuľke 9.1.22 a na obrázkoch 9.1.13 až 9.1.15.

Teoretické riešenie posunutia bodu kmitania je nasledovné:

kde

Verifikačné podmienky:

Analýza frekvenčnej odozvy¶

V tejto verifikácii sa na konzolovom nosníku vykoná analýza frekvenčnej odozvy a výsledky sa overia porovnaním s výsledkami univerzálneho komerčného riešiča. Analytický model a verifikačné podmienky sú uvedené nižšie.

Podmienky analýzy:

Vlastné hodnoty až po piaty rád a frekvenčná odozva bodov budenia získané modálnou analýzou sú nasledovné: