Analýza frekvenčnej odozvy¶

Formulácia problému¶

Analýza frekvenčnej odozvy vyhodnocuje amplitúdu a fázu ustálenej odozvy systému vo frekvenčnej oblasti, keď sa vonkajšia sila harmonicky mení s časom. Keďže riadiaca pohybová rovnica sa pri tlmení a bez tlmenia spracúva odlišne, táto kapitola najprv odvodí vlastné tvary z netlmených voľných vibrácií a potom ich použije ako modálnu bázu na rozvoj tlmenej harmonickej odozvy.

Netlmené voľné vibrácie a vlastné tvary¶

Ak sa tlmenie zanedbá, pohybová rovnica je

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Rozvojom posunutia podľa jednotlivých vlastných tvarov dostaneme

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Dosadením do rovnice \(\eqref{eq:2.6.1}\) dostaneme

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Ide o zovšeobecnený problém vlastných hodnôt. Numerické metódy jeho riešenia vrátane posunutej inverznej iterácie a Lanczosovej metódy sú opísané v časti Modálna analýza. Táto časť sumarizuje vlastnosti výsledných vlastných frekvencií a vlastných tvarov používaných v následnom rozvoji harmonickej odozvy.

Reálnosť vlastných frekvencií¶

Možno ukázať, že vlastná frekvencia je reálna. Nech \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Komplexným združením rovnice \(\eqref{eq:2.6.3}\) dostaneme rovnicu \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Vynásobením výrazom \(\overline{U}_J^T\) dostaneme

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Z rovnice \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Keďže matica hmotnosti je symetrická pozitívne definitná, pre nenulový vlastný vektor platí

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Preto

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Teda \(\omega_j^2 = \lambda_j\) je reálne.

Ortogonalita a normalizácia vlastných tvarov¶

Uvažujme dva rôzne tvary.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Potom platí

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

a ak sú vlastné hodnoty rôzne,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Rôzne vlastné tvary sú teda vzhľadom na maticu hmotnosti ortogonálne. Pre ten istý tvar normalizácia vzhľadom na maticu hmotnosti podľa rovnice \(\eqref{eq:2.6.12}\) zjednodušuje ďalšie spracovanie.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonická odozva s tlmením¶

Ďalej je uvedená formulácia analýzy frekvenčnej odozvy s tlmením. Riadiaca pohybová rovnica je daná rovnicou \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Predpokladá sa Rayleighov typ tlmenia, ktorý je vyjadrený rovnicou \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Pomocou vlastných vektorov získaných modálnou analýzou možno vektor posunutia v čase t rozvinúť podľa rovnice \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Predpokladajme, že člen vonkajšej sily má harmonický tvar

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Potom určujeme \(b_{j}(t)\). Keďže pohybová rovnica \(\eqref{eq:2.6.13}\) má tvar vynútených vibrácií,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

platí. Reálna a imaginárna časť koeficientu rozvoja \(b_{j}(t)\) sú dané rovnicami \(\eqref{eq:2.6.18}i\) a \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Tým získame požadované koeficienty harmonickej odozvy.

Súvisiace témy¶

Modálna analýza — Formulácia základného problému vlastných hodnôt
Metódy dynamickej analýzy — Dynamická analýza v časovej oblasti
Typy analýz — Funkčný prehľad analýzy frekvenčnej odozvy