Modálna analýza¶

Zovšeobecnený problém vlastných hodnôt¶

Pri analýze voľných kmitov kontinua sa oblasť priestorovo diskretizuje a modeluje ako sústava sústredených hmôt s viacerými stupňami voľnosti, ako je znázornené na obrázku 2.3.1. Pre netlmený problém voľných kmitov má riadiaca rovnica (pohybová rovnica) nasledujúci tvar.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Tu je $u$ zovšeobecnený vektor posunutia, $M$ matica hmotnosti a $K$ matica tuhosti. Nech prirodzená uhlová frekvencia je $\omega$, nech $a$, $b$ a $c$ sú ľubovoľné konštanty a $x$ je vektor. Definujme funkciu

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Jej druhá derivácia je

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Dosadením týchto výrazov do rovnice $\eqref{eq:2.3.1}$ dostaneme

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

teda

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Ak teda koeficient $\lambda = \omega^2$ a vektor $x$ spĺňajú rovnicu $\eqref{eq:2.3.5}$, funkcia $u(t)$ je riešením rovnice $\eqref{eq:2.3.1}$.

Koeficient $\lambda$ sa nazýva vlastná hodnota a vektor $x$ vlastný vektor. Úloha určenia týchto veličín z rovnice $\eqref{eq:2.3.1}$ sa nazýva zovšeobecnený problém vlastných hodnôt.

Príklad sústavy s viacerými stupňami voľnosti pri netlmených voľných kmitoch

Obrázok 2.3.1 Príklad sústavy s viacerými stupňami voľnosti pri netlmených voľných kmitoch

Vlastnosti matíc a predpoklady¶

Pre zovšeobecnený problém vlastných hodnôt $K x = \lambda M x$ získaný v predchádzajúcej časti táto príručka predpokladá nasledujúce vlastnosti matíc. Tieto predpoklady sú základom konvergencie a rozsahu použiteľnosti posunutej inverznej iterácie a Lanczosovej metódy opísaných ďalej. Pri komplexnej matici sa transpozícia chápe ako komplexne združená transpozícia, zatiaľ čo reálna matica je symetrická. Konkrétne, ak je prvok $ij$ matice $K$ označený $k_{ij}$ a komplexne združené číslo ku $k$ označíme $\bar{k}$, potom

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

platí uvedený vzťah.

V tejto príručke sa predpokladá, že matice sú symetrické a pozitívne definitné. Pozitívna definitnosť znamená, že všetky vlastné hodnoty sú kladné; ekvivalentne matica vždy spĺňa nasledujúcu rovnicu $\eqref{eq:2.3.7}$.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Posunutá inverzná iterácia¶

V štrukturálnej analýze metódou konečných prvkov zvyčajne nie sú v praxi potrebné všetky vlastné hodnoty; v mnohých prípadoch postačuje iba niekoľko najnižších vlastných hodnôt. HEC-MW je určené pre rozsiahle úlohy, pri ktorých sú matice veľké a veľmi riedke (obsahujú veľa nulových prvkov). Preto je dôležité efektívne počítať vlastné hodnoty nízkych módov s prihliadnutím na túto vlastnosť.

Nech $\sigma$ je dolná hranica vlastných hodnôt. Rovnicu $\eqref{eq:2.3.5}$ potom možno transformovať do nasledujúceho matematicky ekvivalentného tvaru.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Táto transformácia má pre výpočet nasledujúce užitočné vlastnosti.

Poradie módov sa obráti.
Vlastné hodnoty v blízkosti $\rho$ sa zobrazia na najväčšie hodnoty.

Pri skutočnom výpočte sa často najprv získavajú najväčšie vlastné hodnoty. Preto sa hlavný konvergenčný výpočet namiesto rovnice $\eqref{eq:2.3.5}$ aplikuje na rovnicu $\eqref{eq:2.3.8}$ s cieľom získať najprv vlastné hodnoty v blízkosti $\rho$. Táto technika sa nazýva posunutá inverzná iterácia.

Lanczosova metóda¶

Dôvod použitia (porovnanie s Jacobiho metódou)¶

Spomedzi klasických metód je dobre známa Jacobiho metóda.

Táto metóda je účinná pre malé a husté matice. Keďže matice spracúvané HEC-MW sú však veľké a riedke, Jacobiho metóda sa nepoužíva; namiesto nej sa používa iteračná Lanczosova metóda.

Algoritmus a vlastnosti¶

Táto metóda, ktorú navrhol C. Lanczos v 50. rokoch 20. storočia, je algoritmus na redukciu matice do trojdiagonálneho tvaru a má nasledujúce vlastnosti.

Je to iteračná konvergentná metóda a umožňuje zachovať riedkosť matice.
Algoritmus pozostáva najmä zo súčinov matice a vektora a je vhodný na paralelizáciu.
Je vhodný pre geometrické rozdelenie oblasti súvisiace so sieťami konečných prvkov.
Efektívny výpočet je možný obmedzením počtu vlastných hodnôt a rozsahu požadovaných módov.

Lanczosova metóda začína počiatočným vektorom, postupne vytvára ortogonálne vektory a zostavuje bázu podpriestoru. Uvádza sa, že je rýchlejšia než metóda podpriestoru, ktorá je ďalšou iteračnou metódou, a široko sa používa v programoch metódy konečných prvkov. Táto metóda je však citlivá na numerické chyby, ktoré môžu narušiť ortogonalitu vektorov a spôsobiť zlyhanie výpočtu. Preto sú nevyhnutné opatrenia proti týmto numerickým chybám.

Geometrická interpretácia (Krylovov podpriestor)¶

Zavedením nasledujúcej substitúcie v rovnici $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

možno problém prepísať a získať

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Pre vhodný vektor $q_0$ aplikujte lineárnu transformáciu reprezentovanú maticou $A$ (pozri obrázok 2.3.2).

$Lineárna transformácia vektora $q_0$ maticou $A$$

Obrázok 2.3.2 Lineárna transformácia vektora $q_0$ maticou $A$

Transformovaný vektor sa ortogonalizuje v priestore, ktorý vytvára spolu s pôvodným vektorom. Teda sa vykoná Gram-Schmidtova ortogonalizácia, ako je znázornené na obrázku 2.3.2. Výsledný vektor označme $r_1$. Normalizáciou na jednotkovú dĺžku získame $q_1$ (obrázok 2.3.3). Z $q_1$ sa rovnakým postupom získa $q_2$. V tomto bode je $q_2$ ortogonálny k $q_1$ aj $q_0$ (obrázok 2.3.4). Pokračovaním rovnakého výpočtu sa získavajú navzájom ortogonálne vektory až do rádu matice.

$Vektor ortogonálny k $q_0$: $q_1$$

Obrázok 2.3.3 Vektor ortogonálny k $q_0$: $q_1$

$Vektor ortogonálny k $q_1$ a $q_0$: $q_2$$

Obrázok 2.3.4 Vektor ortogonálny k $q_1$ a $q_0$: $q_2$

Lanczosov algoritmus konkrétne aplikuje Gram-Schmidtovu ortogonalizáciu na postupnosť vektorov $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

alebo ekvivalentne $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$.

Táto postupnosť vektorov sa nazýva Krylovova postupnosť a priestor, ktorý vytvára, Krylovov podpriestor. Pri vykonávaní Gram-Schmidtovej ortogonalizácie v tomto priestore možno každý nový vektor získať pomocou dvoch najnovších vektorov. Toto sa nazýva Lanczosov princíp.

Trojdiagonalizácia¶

V uvedenej iterácii možno výpočet (i+1)-ého vektora zapísať ako

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

kde

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

V maticovom zápise dostaneme

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

kde

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Vlastné hodnoty sa teda získajú vyriešením problému vlastných hodnôt pre trojdiagonálnu maticu získanú z rovnice $\eqref{eq:2.3.13}$.

Súvisiace témy¶

Analýza frekvenčnej odozvy — Frekvenčná odozva s využitím výsledkov modálnej analýzy
Typy analýz — Funkčný prehľad modálnej analýzy