Metódy dynamickej analýzy¶

Táto časť opisuje metódy analýzy dynamických úloh s použitím priamej časovej integrácie. Nižšie sú uvedené formulácie implicitnej a explicitnej metódy.

Diskretizácia pohybovej rovnice (spoločný rámec)¶

TBD (bude doplnené v ďalšej fáze).

Implicitná metóda (Newmarkova-β metóda)¶

Pri dynamických úlohách sa na riešenie nasledujúcej pohybovej rovnice používa metóda priamej časovej integrácie.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Tu \(M\) je matica hmotnosti, \(C\) matica tlmenia, \(Q\) vektor vnútorných síl a \(F\) vektor vonkajších síl. Predpokladá sa, že matica hmotnosti zostáva konštantná bez ohľadu na deformáciu, a to aj pri nelineárnej analýze.

Zmeny posunutia, rýchlosti a zrýchlenia počas časového prírastku \(\Delta t\) sa aproximujú Newmarkovou-\(\beta\) metódou podľa rovnice \(\eqref{eq:2.5.2}\) a rovnice \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Tu \(\gamma\) a \(\beta\) sú parametre Newmarkovej-\(\beta\) metódy.

Ako je všeobecne známe, nasledujúce hodnoty \(\gamma\) a \(\beta\) zodpovedajú metóde lineárneho zrýchlenia, resp. lichobežníkovému pravidlu.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metóda lineárneho zrýchlenia)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (lichobežníkové pravidlo)

Dosadením rovnice \(\eqref{eq:2.5.2}\) a rovnice \(\eqref{eq:2.5.3}\) do rovnice \(\eqref{eq:2.5.1}\) dostaneme nasledujúcu rovnicu.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Najmä pri lineárnej úlohe je \(K_L\) lineárna matica tuhosti a \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Dosadením tohto vzťahu do vyššie uvedenej rovnice dostaneme nasledujúcu rovnicu.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

V miestach, kde je zrýchlenie predpísané ako geometrická okrajová podmienka, sa posunutie získa z rovnice \(\eqref{eq:2.5.2}\) nasledovne.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Podobne sa v miestach s predpísanou rýchlosťou posunutie získa z rovnice \(\eqref{eq:2.5.6}\) nasledovne.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Tu \(u_{is}(t+\Delta{t})\) je uzlové posunutie v čase \(t+\Delta{t}\) a \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) je uzlová rýchlosť v čase \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) je uzlové zrýchlenie v čase \(t+\Delta{t}\), \(i\) je číslo uzlového stupňa voľnosti a \(s\) je číslo uzla. Členy hmotnosti a tlmenia sa spracúvajú nasledovne.

Spracovanie člena hmotnosti¶

Matica hmotnosti sa v zásade spracúva ako diagonálna (lumped) matica hmotnosti.

Spracovanie člena tlmenia¶

Člen tlmenia sa spracúva ako Rayleighovo tlmenie vyjadrené rovnicou \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Tu \(R_m\) a \(R_k\) sú parametre Rayleighovho tlmenia.

Hodnoty \(R_m\) a \(R_k\) zadané na karte !DYNAMIC sa jednotne aplikujú na celý model. Ak chcete jednotlivým materiálom priradiť odlišné hodnoty \(R_m\) a \(R_k\), zadajte kartu !DAMPING v bloku !MATERIAL príslušného materiálu. Pre prvky patriace materiálu, pre ktorý je zadané !DAMPING, sa matica tlmenia prvku vypočíta ako \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) z matice hmotnosti prvku \(M_i\) a dotykovej matice tuhosti \(K_i\) a zostaví sa do globálnej matice tlmenia. Táto funkcia je účinná iba pre implicitnú metódu.

Explicitná metóda (metóda centrálnych diferencií)¶

Explicitná metóda vychádza z nasledujúcej pohybovej rovnice v čase t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Vyjadrením posunutí v časoch \(t + \Delta t\) a \(t - \Delta t\) Taylorovým rozvojom okolo času \(t\) a ponechaním členov do druhého rádu v \(\Delta t\) dostaneme nasledujúce rovnice.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Odčítaním a sčítaním rovnice \(\eqref{eq:2.5.3}\) a rovnice \(\eqref{eq:2.5.4}\) dostaneme nasledujúce rovnice.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Dosadením rovnice \(\eqref{eq:2.5.12}\) a rovnice \(\eqref{eq:2.5.13}\) do rovnice \(\eqref{eq:2.5.9}\) dostaneme nasledujúcu rovnicu.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Najmä pri lineárnej úlohe platí \(Q(t) = K_L U(t)\) a vyššie uvedená rovnica má tvar

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ak sa matica hmotnosti \(M\) použije ako diagonálna (lumped) matica hmotnosti a matica tlmenia ako proporcionálna matica tlmenia \(C = R_m M\), rovnica \(\eqref{eq:2.5.15}\) nevyžaduje riešenie sústavy rovníc.

Preto možno z rovnice \(\eqref{eq:2.5.15}\) získať \(U(t+\Delta t)\) nasledujúcou rovnicou.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Súvisiace témy¶

Typy analýz — Prehľad a výber funkcií dynamickej analýzy
Referencie