Preskočiť na obsah

Zoznam symbolov fyzikálnych veličín

Táto stránka uvádza symboly fyzikálnych veličín používaných v teoretickej príručke FrontISTR. Konvencie zápisu (tučné písmo pre vektory a tenzory, Einsteinova sumačná konvencia a Voigtov zápis) nájdete v časti Tenzorový zápis a matematické základy.

Konfigurácie a súradnicové systémy

Symbol Opis
\(\boldsymbol{X}\) Polohový vektor materiálového bodu v referenčnej (počiatočnej) konfigurácii (materiálové súradnice)
\(\boldsymbol{x}\) Polohový vektor materiálového bodu v aktuálnej konfigurácii (priestorové súradnice)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Zobrazenie pohybu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Oblasť zaberaná telesom v referenčnej konfigurácii
\(\Omega\) Oblasť zaberaná telesom v aktuálnej konfigurácii
\(\Gamma_0\) Hranica \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Hranica \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrická (posunová) hranica: hranica v aktuálnej/referenčnej konfigurácii, na ktorej je predpísané \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mechanická hranica: hranica v aktuálnej/referenčnej konfigurácii, na ktorej je predpísané \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (alebo \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Vonkajší jednotkový normálový vektor k ploche v aktuálnej konfigurácii
\(\boldsymbol{N}\) Vonkajší jednotkový normálový vektor k ploche v referenčnej konfigurácii
\(t\) Čas

Konvencia: Fyzikálne veličiny v referenčnej konfigurácii sa označujú veľkými písmenami alebo dolným indexom \(0\), zatiaľ čo veličiny v aktuálnej konfigurácii sa označujú malými písmenami.

Čas a prírastky (prírastková analýza)

Symbol Opis
\(\Delta t\) Časový prírastok: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fyzikálna veličina v čase \(t\) (ľavý horný index). Príklad: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyho napätie v čase \(t\)
\(^{t}\Omega\) Oblasť aktuálnej konfigurácie v čase \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Hranica aktuálnej konfigurácie v čase \(t\)

Konvencia: V prírastkovej analýze sa stav do času \(t\) považuje za známy a stav v čase \(t + \Delta t\) sa rieši ako neznámy. Ľavý horný index sa vynecháva, ak čas netreba uvádzať explicitne. Formulácia, ktorá používa referenčnú konfiguráciu \(\Omega_0\) ako referenciu, sa nazýva formulácia Total Lagrange, zatiaľ čo formulácia, ktorá ako referenciu používa aktuálnu konfiguráciu \(^{t}\Omega\) na začiatku prírastku, sa nazýva formulácia Updated Lagrange.

Posunutie, rýchlosť, zrýchlenie a objemová sila

Symbol Opis
\(\boldsymbol{u}\) Vektor posunutia: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Posunutie predpísané na geometrickej hranici \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuálne posunutie (testovacia funkcia): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektor rýchlosti: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektor zrýchlenia: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Objemová sila (na jednotku hmotnosti)
\(\boldsymbol{t}\) Vektor povrchového zaťaženia (na jednotku plochy): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Povrchové zaťaženie predpísané na mechanickej hranici \(\Gamma_t\) (Neumannove údaje)

Diferenciálne operátory

Symbol Opis
\(\dot{(\cdot)}\) Materiálová časová derivácia (časová derivácia sledujúca ten istý materiálový bod): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient v referenčnej konfigurácii (gradient podľa materiálových súradníc \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient v aktuálnej konfigurácii (gradient podľa priestorových súradníc \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Symetrický gradientový operátor: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Poznámka: \(\nabla_X\) a \(\nabla_x\) sú prepojené vzťahom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez dolného indexu, \(\nabla\), sa používa, keď je konfigurácia z kontextu zrejmá alebo keď rozdiel zaniká, napríklad pri problémoch s malými deformáciami.

Tenzory deformácie

Symbol Opis
\(\boldsymbol{F}\) Tenzor gradientu deformácie: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Objemový pomer: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Pravý Cauchyho-Greenov tenzor deformácie: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Ľavý Cauchyho-Greenov tenzor deformácie: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tenzor gradientu rýchlosti: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tenzor rýchlosti deformácie (symetrická časť \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tenzor rotácie (antisymetrická časť \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tenzory pretvorenia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{E}\) Greenov-Lagrangeov tenzor pretvorenia (referenčná konfigurácia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansiho tenzor pretvorenia (aktuálna konfigurácia): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Lineárna časť Almansiho tenzora pretvorenia (symetrický gradient posunutia v aktuálnej konfigurácii): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenzor infinitézimálneho pretvorenia (lineárna aproximácia): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Poznámka: \(\boldsymbol{E}\) sa používa predovšetkým vo formulácii Total Lagrange, zatiaľ čo \(\boldsymbol{D}\) sa používa predovšetkým vo formulácii Updated Lagrange.

Tenzory napätia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyho tenzor napätia (skutočné napätie, aktuálna konfigurácia): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Prvý Piolov-Kirchhoffov tenzor napätia (nominálne napätie): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Druhý Piolov-Kirchhoffov tenzor napätia (referenčná konfigurácia, symetrický): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Prevodové vzťahy medzi tenzormi napätia:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvencia: Formulácia Total Lagrange používa dvojicu \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), zatiaľ čo formulácia Updated Lagrange používa dvojicu \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Hustota a hmotnosť

Symbol Opis
\(\rho\) Hustota hmotnosti v aktuálnej konfigurácii
\(\rho_0\) Hustota hmotnosti v referenčnej konfigurácii

Zákon zachovania hmotnosti: \(\rho_0 = J\rho\).

Materiálové konštanty (lineárna elasticita)

Symbol Opis
\(E\) Youngov modul
\(\nu\) Poissonovo číslo
\(\lambda\) Prvá Lamého konštanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druhá Lamého konštanta (modul šmyku): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tenzor elasticity (štvrtého rádu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), zložky \(C_{ijkl}\)
\(D\) (or \(\hat{\tilde{C}}\)) Materiálová matica (Voigtov zápis, \(6\times6\) v 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Zložky tenzora elasticity pre izotropný lineárne elastický materiál:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastické materiály

Symbol Opis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkcia elastického potenciálu (funkcia hustoty deformačnej energie)
\(I_1, I_2, I_3\) Hlavné invarianty pravého Cauchyho-Greenovho tenzora \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Redukované invarianty \(\boldsymbol{C}\) (oddelená objemová zmena)
\(C_1, C_2\) Materiálové konštanty Mooneyho-Rivlinovho modelu
\(D\) Materiálová konštanta súvisiaca s objemovou elasticitou

Elastoplastické materiály

Symbol Opis
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastická zložka tenzora rýchlosti deformácie
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastická zložka tenzora rýchlosti deformácie
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkcia plasticity
\(\kappa\) Vnútorná premenná reprezentujúca plastický stav (premenná izotropného spevnenia)
\(\lambda^p\) Plastický multiplikátor (multiplikátor rýchlosti plastického pretvorenia): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastický potenciál (\(\Theta = F\) pre asociované pravidlo toku)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentné napätie (napr. von Misesovo napätie)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentné plastické pretvorenie
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkcia izotropného spevnenia

Podmienka komplementarity: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metóda konečných prvkov

Symbol Opis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Oblasti v aktuálnej a referenčnej konfigurácii aproximované diskretizáciou metódou konečných prvkov: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Oblasť prvku v aktuálnej a referenčnej konfigurácii
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Časť hranice prvku patriaca k mechanickej hranici
\(\boldsymbol{r}\) Prirodzené súradnice (lokálne súradnice prvku)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Bod v prirodzených súradniciach zodpovedajúci uzlu \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Tvarová funkcia zodpovedajúca uzlu \(\alpha\) prvku \(e\)
\(n_e\) Počet uzlov tvoriacich prvok
\(n_g\) Celkový počet globálnych uzlov
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Súradnice a posunutie uzla prvku \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vektory uzlových súradníc a posunutí prvku: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), atď.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globálne vektory uzlových súradníc a posunutí (usporiadané podľa čísla uzla a potom podľa stupňa voľnosti)
\(\boldsymbol{B}\) Matica vzťahu pretvorenie-posunutie (B-matica)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matica tvarových funkcií: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) s tvarovou funkciou \(N_\alpha^e\) pre uzol \(\alpha\) na diagonále a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matica tuhosti prvku
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandy matice tuhosti prvku (vyjadrené v referenčnej a aktuálnej konfigurácii): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulácia TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulácia UL) Vektor vnútorných síl prvku
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Vonkajšia uzlová sila pôsobiaca na uzol prvku \(\alpha\) a vektor vonkajších uzlových síl prvku: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globálny vektor vnútorných síl a globálny vektor vonkajších síl: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogicky pre \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Vnútorná uzlová sila a vonkajšia uzlová sila v globálnom uzle \(i_g\) (uzlové bloky \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globálna tečná matica tuhosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matica vytvorená umiestnením bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) do riadka \(i_g\), stĺpca \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektor rezídua v Newtonovej-Raphsonovej iterácii: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korekcia v Newtonovej-Raphsonovej iterácii (získaná riešením lineárnej rovnice \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) v iterácii \(i\))
\(i_g\) Globálne číslo uzla (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globálne číslo uzla zodpovedajúce lokálnemu číslu uzla \(\alpha\) prvku \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Množina dvojíc \((e, \alpha)\) zodpovedajúcich globálnemu číslu uzla \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Používa sa pri operáciách zostavovania
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Množina trojíc \((e, \alpha, \beta)\) zodpovedajúcich dvojici globálnych čísel uzlov \((i_g, i_h)\); používa sa pri zostavovaní matice tuhosti
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indexy uzlov tvoriacich prvok
\(i, j, k, l, \ldots\) Indexy stupňov voľnosti (\(1, 2, 3\) v 3D)

Pokročilé a konštrukčné prvky

Symbol Opis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matica vzťahu pretvorenie-posunutie s objemovou časťou upravenou metódou B-bar (objemová zložka je nahradená B-maticou vyhodnotenou v strede prvku)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradient deformácie s objemovou časťou upravenou metódou F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Objemový pomer gradientu deformácie vyhodnoteného v strede prvku \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor vnútorných stupňov voľnosti prvku s nekompatibilnými módmi (koeficienty dodatočných módov posunutia, ktoré nevynucujú spojitosť na hranici prvku)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Tvarové funkcie pre nekompatibilné módy: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Hrúbka škrupinového prvku
\(A\) Plocha prierezu nosníkového prvku
\(I\) Druhý moment plochy prierezu nosníkového prvku
\(G\) Modul šmyku: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Súvisiace témy

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status