Tenzorový zápis a matematické základy¶

Táto kapitola zhromažďuje konvencie tenzorového zápisu, indexového zápisu a Voigtovho zápisu používané v nasledujúcich kapitolách teoretickej príručky FrontISTR. Opisujú sa tu iba čisté pravidlá zápisu, ktoré nezávisia od definícií fyzikálnych veličín. Konvencie zápisu závislé od konfigurácie spojenej s pohybom kontinua (referenčná/aktuálna konfigurácia), napríklad rozlíšenie veľkých a malých písmen a materiálových a priestorových derivácií, sú uvedené v časti Pohyb, deformácia a pretvorenie, kde sa zavádza pojem konfigurácie.

Tenzorový zápis¶

Zápis vektorov a tenzorov tučným písmom¶

Ako typografická konvencia sa skalárne veličiny a zložky vektorov a tenzorov zapisujú bežným písmom (napríklad \(\rho\) a \(x_i\)), zatiaľ čo samotné vektorové a tenzorové veličiny sa zapisujú tučným písmom (napríklad \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) a \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteinova sumačná konvencia¶

Ak nie je uvedené inak, používa sa Einsteinova sumačná konvencia: keď sa ten istý index vyskytne v tom istom člene dvakrát, vykonáva sa súčet cez tento index. Napríklad

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

a zložka \(i,j\) súčinu \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) tenzorov \(\boldsymbol{A}\) a \(\boldsymbol{B}\) je

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Podľa indexovej konvencie, keď sa \(i, j, k, l, \ldots\) používajú ako indexy bez ďalšieho upresnenia, označujú indexy spojené so stupňami voľnosti (\(1, 2, 3\) v troch rozmeroch), zatiaľ čo malé grécke písmená \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) použité ako indexy označujú indexy spojené s uzlami tvoriacimi prvok.

Vnútorný súčin, transpozícia a tenzorový súčin¶

Transpozícia tenzora \(\boldsymbol{A}\) sa označuje \(\boldsymbol{A}^T\). Vnútorný súčin (dvojitá kontrakcia) tenzorov druhého rádu \(\boldsymbol{A}\) a \(\boldsymbol{B}\) sa zapisuje ako

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Vnútorný súčin vektorov \(\boldsymbol{a}\) a \(\boldsymbol{b}\) je \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) a ich tenzorový súčin je \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigtov zápis¶

Napätie a pretvorenie sú vzhľadom na stupne voľnosti symetrické tenzory druhého rádu a koeficienty vyjadrujúce lineárny vzťah medzi nimi tvoria tenzor štvrtého rádu. Priame spracovanie týchto tenzorov v programe je nevýhodné z hľadiska výpočtových nákladov a programovania (viacrozmerné polia a hlboko vnorené cykly). Preto všeobecné programy metódy konečných prvkov využívajú symetriu a komprimujú napätie a pretvorenie do stĺpcových vektorov a tenzor elasticity štvrtého rádu do dvojrozmernej matice. Tento zápis sa nazýva Voigtov zápis.

Ďalej sa maticová alebo vektorová reprezentácia tenzorovej veličiny \(\boldsymbol{A}\) označuje \(\hat{A}\), aby sa odlíšila od pôvodného tenzora.

Vektorová reprezentácia napätia a pretvorenia¶

Pre symetrický tenzor napätia \(\boldsymbol{\sigma}\) a tenzor pretvorenia \(\boldsymbol{\varepsilon}\) v dvoch rozmeroch,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

v troch rozmeroch,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

sa spracúvajú ako stĺpcové vektory uvedené vyššie. Rovnaké pravidlo platí aj pre odvodené veličiny, napríklad variácie a diferenciály. Všimnite si, že šmykové zložky na strane pretvorenia majú faktor 2 (na strane napätia nie). Vďaka tejto asymetrii možno tenzorový vnútorný súčin kompaktne zapísať ako vektorový vnútorný súčin

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Pri implementácii sa faktor 2 pri šmykových zložkách pretvorenia ľahko spracuje nesprávne, preto treba vždy pamätať na konvenciu „pri napätí chýba / pri pretvorení je prítomný“. Presne rovnaká Voigtova konvencia sa používa aj pre veličiny v referenčnej konfigurácii (druhé Piolovo-Kirchhoffovo napätie \(\boldsymbol{S}\) a Greenovo-Lagrangeovo pretvorenie \(\boldsymbol{E}\)).

Maticová reprezentácia tenzora štvrtého rádu¶

Pre lineárny vzťah medzi napätím a pretvorením \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (v zložkovom tvare \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) sa pri využití symetrie \(\boldsymbol{\varepsilon}\) získa

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

V troch rozmeroch možno usporiadaním \(\tilde{C}\) do materiálovej matice 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) vyjadriť pôvodný tenzorový vzťah ako

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Ďalej sa v tejto príručke, ak nie je uvedené inak, materiálová matica označuje \(D\) (alebo \(\hat{C}\)). Konkrétne zložky pre izotropnú lineárnu elasticitu nájdete v časti Lineárna elasticita.

Konvencie diferenciálnych operátorov¶

Symetrický gradientový operátor¶

Symetrický gradientový operátor \(\nabla_S\) pre vektorové pole \(\boldsymbol{u}\) je definovaný ako

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

V zložkovom tvare \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Infinitezimálne pretvorenie \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) možno týmto operátorom vyjadriť kompaktne. Rozlíšenie konfigurácií (referenčnej/aktuálnej), vzhľadom na ktoré sa pri konečných deformáciách počítajú gradienty, je uvedené v časti Pohyb, deformácia a pretvorenie.

Materiálová časová derivácia¶

Materiálová časová derivácia veličiny \(A\) (časová derivácia sledujúca ten istý materiálový bod) sa označuje hornou bodkou, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Rýchlosť a zrýchlenie používajú túto konvenciu.

Súvisiace témy¶

Pohyb, deformácia a pretvorenie — Pojmy referenčnej/aktuálnej konfigurácie a konvencie zápisu závislé od konfigurácie (veľké/malé písmená, materiálové/priestorové derivácie)
Napätie a zákony zachovania — Odvodenie riadiacich rovníc pomocou tohto zápisu
Princíp virtuálnej práce — Použitie slabej formulácie a Voigtovho zápisu
Lineárna elasticita — Konkrétny tvar materiálovej matice \(D\)
Tvarové funkcie a aproximácia konečnými prvkami — Výpočet tuhosti prvku pomocou Voigtovho zápisu