Rovnica vedenia tepla¶

Táto kapitola sumarizuje na úrovni kontinua riadiacu rovnicu vedenia tepla riešenú v FrontISTR a jej okrajové podmienky. Časová diskretizácia a diskretizácia FEM sú ponechané na časť o diskretizácii (L3d) a časť o algoritme riešenia (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Riadiaca rovnica¶

Rovnica vedenia tepla v kontinuu je daná nasledovne.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Tu \(\rho=\rho(x)\) označuje hustotu hmotnosti, \(c=c(x,T)\) mernú tepelnú kapacitu, \(T=T(x,t)\) teplotu, \(k=k(x,T)\) tepelnú vodivosť, \(Q=Q(x,T,t)\) tvorbu tepla, \(x\) polohu a \(t\) čas. \(k_x, k_y, k_z\) sú tepelné vodivosti v príslušných smeroch pri anizotropnom vedení tepla.

Konkrétne tepelné vlastnosti vrátane závislosti od teploty a anizotropie sú opísané v časti Tepelné vlastnosti.

Okrajové podmienky¶

Nech je uvažovaná doména \(S\) a jej hranica \(\Gamma\). Za predpokladu, že je na každom mieste \(\Gamma\) predpísaná buď okrajová podmienka Dirichletovho typu, alebo Neumannovho typu, sú okrajové podmienky dané nasledovne.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Tu sa predpokladá, že funkčné tvary \(T_1\) a \(q\) sú známe. \(q\) je tepelný tok vystupujúci z hranice. Hraničný tepelný tok \(q\) pozostáva z nasledujúcich troch zložiek.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Tu \(q_s\) je rozložený tepelný tok, \(q_c\) je tepelný tok spôsobený konvekčným prestupom tepla a \(q_r\) je tepelný tok spôsobený sálavým prestupom tepla.

Tu \(Tc=Tc(x,t)\) je teplota okolia pre konvekčný prestup tepla, \(hc=hc(x,t)\) je súčiniteľ konvekčného prestupu tepla, \(Tr=Tr(x,t)\) je teplota okolia pre sálavý prestup tepla, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) je súčiniteľ sálavého prestupu tepla, \(\varepsilon\) je emisivita, \(\sigma\) je Stefanova-Boltzmannova konštanta a \(F\) je činiteľ pohľadu.

Spôsob zadania týchto podmienok vo vstupnom súbore je uvedený v časti Okrajové podmienky a zaťaženia v referenčnej príručke funkcií.

Slabá forma¶

Väzba so štrukturálnou analýzou¶

Súvisiace témy¶

Nestacionárne vedenie tepla — Časová diskretizácia a nelineárna iterácia
Tepelné vlastnosti — Formulácia materiálových vlastností a teplotnej závislosti
Tvarové funkcie a aproximácia metódou konečných prvkov — Rámec diskretizácie FEM
Referenčná príručka funkcií: Okrajové podmienky a zaťaženia — Zadanie okrajových podmienok pre analýzu vedenia tepla