Preskočiť na obsah

Rámec prírastkovej analýzy

Potreba prírastkovej analýzy

Ako bolo uvedené vyššie, pri analýze úloh s malými deformáciami možno analýzu metódou konečných prvkov vykonať použitím princípu virtuálnej práce, ktorý je ekvivalentný základným rovniciam, napríklad rovniciam rovnováhy, a diskretizáciou tejto rovnice konečnými prvkami. Rovnaký základný princíp virtuálnej práce sa používa aj pri analýze úloh konečných deformácií zahŕňajúcich veľké deformácie konštrukcií.

Pri úlohách konečných deformácií sa však rovnica princípu virtuálnej práce stáva nelineárnou vzhľadom na posunutie, aj keď sa predpokladá lineárne správanie materiálu. Na riešenie nelineárnych rovníc sa vo všeobecnosti vykonávajú iteračné výpočty pomocou iteračnej metódy.

Pri týchto iteračných výpočtoch sa používa prírastková analýza, pri ktorej sa výpočet vykonáva po častiach pre malé prírastky zaťaženia a prírastky sa akumulujú až do dosiahnutia konečného deformovaného stavu. Pri predpoklade malých deformácií sa pri definovaní pretvorenia a napätia osobitne nerozlišuje medzi konfiguráciou pred deformáciou a po deformácii. To znamená, že pri predpoklade malých deformácií nezáleží na tom, či je konfigurácia použitá na opis základných rovníc konfiguráciou pred alebo po deformácii.

Pri prírastkovej analýze úlohy konečných deformácií sa formulácia líši podľa toho, či sa ako referenčná konfigurácia zvolí počiatočná konfigurácia alebo konfigurácia na začiatku prírastku. Prvá sa nazýva úplná Lagrangeova metóda a druhá aktualizovaná Lagrangeova metóda. Podrobnosti nájdete v odkazoch na konci kapitoly a v súvisiacich materiáloch.

Východisková rovnica: princíp virtuálnej práce v čase \(t'\)

Uvažujme prírastkovú analýzu, v ktorej je stav do času \(t\) známy a stav v čase \(t' = t + \Delta t\) neznámy (pozri obrázok 2.2.1). Rovnice rovnováhy, okrajové podmienky a princíp virtuálnej práce v čase \(t'\) (vyjadrené v aktuálnej konfigurácii pomocou Cauchyho napätia \(^{t'}\sigma\) a lineárnej časti Almansiho pretvorenia \(^{t'} A_{(L)}\)) sú uvedené v časti Princíp virtuálnej práce.

Koncept prírastkovej analýzy

Obrázok 2.2.1 Koncept prírastkovej analýzy

Keďže je však táto východisková rovnica zapísaná v (neznámej) konfigurácii v čase \(t'\), skutočný postup riešenia vyberie ako referenčnú konfiguráciu buď počiatočnú konfiguráciu \(V\) v čase \(0\), alebo aktuálnu konfiguráciu \(^{t'} v\) v čase \(t\), prepíše rovnicu do prírastkového tvaru a následne ju rieši:

  • Úplná Lagrangeova metóda — Ako referenciu používa počiatočnú konfiguráciu \(V\). Používa sa druhé PK napätie \(\boldsymbol{S}\) a Greenovo-Lagrangeovo pretvorenie \(\boldsymbol{E}\).
  • Aktualizovaná Lagrangeova metóda — Ako referenciu používa aktuálnu konfiguráciu \(^{t}v\) na začiatku prírastku. Používa sa Cauchyho napätie \(\boldsymbol{\sigma}\) a lineárna časť Almansiho pretvorenia \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Priestorová diskretizácia oboch formulácií (matica B a vektor vnútorných síl) je opísaná v časti Diskretizácia vnútornej virtuálnej práce; linearizácia a zostavenie tečnej tuhosti sú uvedené v časti Tečná matica tuhosti.

Súvisiace témy

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status